尽管我们是在二元函数的背景下引入偏导数的，但这一概念可以很容易地推广，以获得任意多个变量的函数的偏导数。因此，对于一个 $f(x_1, x_2, \dots, x_n)$ 个 $n$ 变量的函数，关于 $x_i$ 的偏导数由

$$f_{x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{\Delta x_i \rightarrow 0} \frac{f(x_1, x_2, \dots, x_{i-1}, x_i + \Delta x_i, x_{i+1}, \dots, x_n) - f(x_1, x_2, \dots, x_i, x_n)}{\Delta x_i}$$

给出，它是通过将函数对 $x_i$ 求导，同时保持其余 $n - 1$ 个变量不变而得到的。

例 9.26

求

$$f(x, y, z) = xyz^2 + 3xy - z$$

关于 $x$ , $y$ 和的偏导数 $z$ .。

解答 对 $f(x, y, z)$ 求偏导，保持 $x$ 和 $y$ 不变，得到 $z$ 对

$$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = yz^2 + 3y$$

求偏导，保持 $f(x, y, z)$ 和 $y$ 不变，得到 $x$ 对 $z$ 求偏导，保持

$$f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = xz^2 + 3x$$

求导 $f(x, y, z)$ 关于 $z$ ，保持 $x$ 和 $y$ 不变，得到

$$f_z = \frac{\partial f}{\partial z} = xy(2z) + 0 - 1 = 2xyz - 1$$

偏导数 $f_x$ 和 $f_y$ 函数的 $f(x, y)$ ，关于 $x$ 和 $y$ 分别由以下命令给出

syms x y
f = f(x, y)
fx = diff(f, x)
fy = diff(f, y)

考虑例 9.24(b)。命令如下

syms x y
f = (y^2 + x)*exp(-x*y);
fx = diff(f, x);
fx = simplify(fx);