返回答案

$$-\exp(-xy) (-1 + y^3 + xy)$$

加上附加命令

$$f_Y = \text{diff}(f, y);$$

fy = simplify(fy);

pretty(fy)

返回答案

-exp(-xy)(-2y + xy2 + x2 )

偏导数的命令可以很容易地推广到多于两个变量的函数。例如，考虑例 9.26，MATLAB 命令

syms x y z

$$f = x^*y^*z^2 + 3^*x^*y - z;$$

$$fx = \text{diff}(f, x); \text{ return the answer } yz^2 + 3y$$

$$fy = \text{diff}(f, y)$$ ；返回答案 $xz^2 + 3x$ ，以及

fz = diff(f,z); 返回答案 2xyz - 1

作为练习，请验证例 9.24(a) 和 9.25(a)、(b) 的答案。

9.6.3 方向导数

考虑一个二元函数 $z = f(x, y)$ 。它可以表示为三维空间中的一个曲面，如图 9.13 所示。

我们在第 8 章中已经知道，一元函数 $f(x)$ 的导数度量的是该函数图像切线的斜率，如图 9.14 所示。而对于二元函数，由于 $z = f(x, y)$ 定义了三维空间中的一个曲面，“斜率”没有唯一的含义，除非我们指定测量斜率的方向。一般而言，不同方向上的斜率是不同的。现在考虑两点 $P$ 和 $Q$ 在曲面上 $z = f(x, y)$ ，如图 9.15 所示，并设 $P'$ 和 $Q'$ 为它们在 $x$ - $y$ 平面上的投影。为简化起见，设 $P'Q' = l$ ；则 $P'$ 和 $Q'$ 的坐标由

$$(x, y, 0)$$ 和 $(x + l \cos \alpha, y + l \sin \alpha, 0)$

图 9.13 曲面 $z = f(x, y)$ .

图 9.14 图像的切线 $y = f(x)$ .