如果 $r$ 和 $h$ 各自以 $f$ 0.25 cm s $^{-1}$ 的速率增加，求当 $S$ 和 $r = 3$ 时的那一瞬间， $h = 4$ 的增加速率。

55 （接第 32 题。）一个质点运动，其在时间 $t$ 的位置由 $\mathbf{r} = (t, t^2, t^3)$ 给出。求距离的变化率 $|\mathbf{r}|$ 粒子到原点的距离。

56 求 $\partial f/\partial s$ 和 $\partial f/\partial t$ 其中

$$f(x, y) = x^2 + 2y^2$$

和 $$x = e^{-s} + e^{-t}$$ 和 $y = e^{-s} - e^{-t}$ 。

53 在一个直角三角形中 $a$ cm 和 $b$ cm 是两条直角边。 $a$ 以如下速度增加 $2 \text{ cm s}^{-1}$ 和 $b$ 以速率增长 $3 \text{ cm s}^{-1}$ 。计算当 $a = 5$ 和 $b = 3$ 时，(a) 面积和 (b) 斜边的变化率。

54 证明底面半径为 $S$ 厘米、垂直高度为 $r$ 厘米的封闭圆锥的总表面积 $h$ 由下式给出

$$S = \pi r^2 + \pi r \sqrt{(r^2 + h^2)}$$ $$S = \pi r^2 + \pi r \sqrt{(r^2 + h^2)}$$

9.6.7 逐次求导

考虑函数 $f(x, y)$ 及其偏导数 $\partial f/\partial x$ 和 $\partial f/\partial y$ . 一般来说，这些偏导数本身也是 $x$ 和 $y$ 的函数，因此可以再对它们求导得到二阶导数。我们记作

$$\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = f_{xx}$$

$$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial x}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x} = \frac{\partial}{\partial y}(f_x) = f_{xy}$$

$$\frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right) = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial x}(f_y) = f_{yx}$$

和

$$\frac{\partial}{\partial y}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\right) = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = f_{yy}$$

有些函数的混合二阶导数并不相等，即

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \neq \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$$

因此求导的先后顺序很重要，但对于工程问题中出现的大多数函数，其二阶导数通常是连续函数，这些混合导数的值是相同的。类似地，我们可以定义更高阶的偏导数

$$\frac{\partial^{m+n}f}{\partial x^m \partial y^n}$$