返回

$$Tr = (3x^2 - y)\cos(theta) + (-x + 3y^2)\sin(theta)$$

为了代入 $x$ 和 $y$ 用 $r$ 和 theta 表示，我们使用 eval 命令，

eval(Tr); pretty(ans)

返回答案

$$(3r^2\cos(theta)^2 - r\sin(theta))\cos(theta) + (-r\cos(theta) + 3r^2\sin(theta)^2)\sin(theta)$$

它很容易化简为解答中给出的答案。

类似地，命令

Ttheta = Tx*xtheta + Ty*ytheta;

eval(Ttheta); pretty(ans)

返回答案

$$(-3r^2\cos(theta)^2 + r\sin(theta)) r\sin(theta) + (-r\cos(theta) + 3r^2\sin(theta)^2) r\cos(theta)$$

它也很容易化简为解答中给出的答案。

9.6.6 习题

尽可能使用 MATLAB 检验你的答案。

47 求 $\frac{dA}{dt}$ 其中 $A = r \tan^{-1}(r \tan \theta)$ 和 $r = 2t + 1$ , $\theta = \pi t$ 。

48 求 $\partial f/\partial s$ 和 $\partial f/\partial t$ 当 $f(x, y) = e^x \cos y$ , $x = s^2 - t^2$ 和 $y = 2st$ 。

49 求 $dz/dt$ 当

• (a) $z^2 = x^2 + y^2, x = t^2 + 1$ 和
  $y = t - 1$

(b) $z = x^2i$

^[2] $t^2$ ² 和 $x^2 + 3xt + 2t^2$

$$r^2 = 1$$ 50 证明：若 $u = x + y$ , $v = xy$ 且 $z = f(u, v)$ 则

• $$(a) \quad x \frac{\partial z}{\partial x} - y \frac{\partial z}{\partial y} = (x - y) \frac{\partial z}{\partial u}$$

• $$(b) \quad \frac{\partial z}{\partial x} - \frac{\partial z}{\partial y} = (y - x) \frac{\partial z}{\partial v}$$

51 证明：若 $z = x^n f(u)$ ，其中 $u = y/x$ ，则

$$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = nz$$

对 $z = x^4 + 2y^4 + 3xy^3$ 验证此结果。

52 证明：若 $f$ 是自变量 $x$ 和的函数 $y$ , 后者则被改为自变量 $u$ 和 $v$ 其中 $u = e^{y/x}$ 和 $v = x^2 + y^2$ , 则

• $$(a) \quad x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = 2\nu \frac{\partial f}{\partial \nu}$$

• $$(b) \quad x^3 \frac{\partial f}{\partial y} - x^2 y \frac{\partial f}{\partial x} = uv \frac{\partial f}{\partial u}$$