9.6.9 全微分与小误差

考虑一个函数 $u = f(x, y)$ 它是两个变量的函数 $x$ 和 $y$ 。设 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 为 $x$ 和 $y$ 的值的增量。那么 $u$ 相应的增量为

$$\Delta u = f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y)$$

我们将其改写为两项：一项表示 $u$ 由于以下变化 $x$ ，另一个显示以下变化 $u$ 由于以下变化 $y$ 。因此

$$\Delta u = [f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y + \Delta y)] + [f(x, y + \Delta y) - f(x, y)]$$

将第一个括号项除以 $\Delta x$ ，第二个除以 $\Delta y$ 得到

$$\Delta u = \frac{f(x + \Delta x, y + \Delta y) - f(x, y + \Delta x)}{\Delta x} \Delta x + \frac{f(x, y + \Delta y) - f(x, y)}{\Delta y} \Delta y$$

59 验证

$$f(x, y) = \frac{x}{x^2 + y^2}$$

满足方程

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$$

60 求常数的值 $a$ 若

$$V(x, y) = x^3 + axy^2$$ 满足

$$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} = 0$$

61 验证

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$$

在以下情形中

(a) $$f(x, y) = x^2 \cos y$$      (b) $f(x, y) = \sinh x \cos y$

62 证明

$$V(x, y, z) = \frac{1}{z} \exp\left(-\frac{x^2 + y^2}{4z}\right)$$

满足微分方程

$$\frac{\partial^2 V}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 V}{\partial y^2} = \frac{\partial V}{\partial z}$$

63 证明 $z = xf(x + y) + yF(x + y)$ ，其中 $f$ 和 $F$ 为任意函数，满足该方程

$$z_{xx} + z_{yy} = 2z_{xy}$$

64 证明：若 $z = xe^{Kxy}$ ，其中 $K$ 为常数，则

$$xz_x - yz_y = z \quad \text{and} \quad xz_{xx} - yz_{xy} = 0$$

65 若 $u = ax + by$ 且 $v = bx - ay$ ，其中 $a$ 和 $b$ 为常数，求 $\partial u/\partial x$ 和 $\partial v/\partial y$ 。通过将 $x$ 和 $y$ 关于 $u$ 和 $v$ ，求出 $\partial x/\partial u$ 和 $\partial y/\partial v$ 并推导出

$$\frac{\partial \nu}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial \nu} = \frac{a^2 + b^2}{a^2}$$

$$\frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} = \frac{a^2}{a^2 + b^2}$$

并证明

$$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = ab \left( \frac{\partial^2 f}{\partial u^2} - \frac{\partial^2 f}{\partial v^2} \right) + (b^2 - a^2) \frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v}$$

66 求常数 $a$ 和 $b$ 的值，使得 $a = x + ay$ , $v = x + by$ 变换

$$9 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} - 9 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + 2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 0$$

为

$$\frac{\partial^2 f}{\partial u \partial v} = 0$$

67 关于 $u$ 和 $v$ 作为 $x$ 和 $y$ 的函数，且由以下方程定义

$$x = e^{\alpha} \cos v, \quad y = e^{\alpha} \sin v$$

证明

$$(a) \frac{\partial u}{\partial x} \frac{\partial x}{\partial u} = \cos^2 v = \frac{\partial v}{\partial y} \frac{\partial y}{\partial v}$$

$$(b) \frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2} = e^{-2u} \left( \frac{\partial^2 z}{\partial u^2} - \frac{\partial^2 z}{\partial v^2} \right)$$

其中 $z$ 是一个关于 $u$ 和 $v$ .