根据偏导数的定义，我们可以用下式近似该表达式

$$\Delta u \approx \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y$$

我们定义微分 $du$ 为如下等式

$$du = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y \tag{9.28}$$

通过令 $f(x, y) = f_1(x, y) = x$ 和 $f(x, y) = f_2(x, y) = y$ 依次代入 (9.28)，我们看到

$$dx = \frac{\partial f_1}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f_1}{\partial y} \Delta y = \Delta x \quad \text{and} \quad dy = \Delta y$$

因此对于自变量，增量和微分相等。对于因变量，我们有

$$du = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy \tag{9.29}$$

我们看到微分 $du$ 是对变化量 $\Delta u$ 在 $u = f(x, y)$ 由自变量 x 的微小变化 dx 和 dy 引起 $\Delta x$ 以及 $\Delta y$ 在自变量中 $x$ 和 $y$ ；也就是说，

$$\Delta u \approx du = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy = \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y \tag{9.30}$$

如图 9.17 所示的结果。

这可以推广到任意多个变量的函数，只要偏导数存在即可。例如，对于由下式定义的三变量函数 w = f(x, y, z) $(x, y, z)$ 我们得到 $u = f(x, y, z)$ 图 9.17
全微分。

$$\begin{aligned} \Delta u \approx du &= \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz \ &= \frac{\partial f}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial f}{\partial y} \Delta y + \frac{\partial f}{\partial z} \Delta z \end{aligned}$$