因此，积分得

$$g(y) = -2y^2 + 3y + C$$

代回 (9.34) 得

$$f(x, y) = 3x^2 + 9xy + 11x - 2y^2 + 3y + C$$

现在我们已知

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{6x + 9y + 11}{9x - 4y + 3}$$

这意味着

$$(6x + 9y + 11)dx + (9x - 4y + 3)dy = 0$$

进而意味着

$$3x^2 + 9xy + 11x - 2y^2 + 3y + A = 0$$

任意常数 $A$ 通过应用给定条件确定 $y = 1$ 当 $x = 0$ 时，得到 $A = -1$ 。因此 $x$ 和 $y$ 满足方程

$$3x^2 + 9xy + 11x - 2y^2 + 3y = 1$$

9.6.12 习题

• 76 判断下列哪些是某个函数 n 的恰当微分，并在适当情况下求出相应的函数。

• 76	判断下列哪些是某个函数的恰当微分，并在适当情况下求出相应的函数。	求某个函数的恰当微分 $f(x, y)$ 它还满足条件 $f(0, 1) = 0$ .
  	(a) $(y^2 + 2xy + 1)dx + (2xy + x^2)dy$	78 证明微分
  	(b) $(2xy^2 + 3y \cos 3x)dx + (2x^2y + \sin 3x)dy$	$g(x, y) = (10x^2 + 6xy + 6y^2)dx + (9x^2 + 4xy + 15y^2)dy$
  	(c) $(6xy - y^2)dx + (2xe^y - x^2)dy$	不是恰当的，但可以选择一个常数 $m$ 使得
  	(d) $(z^3 - 3y)dx + (12y^2 - 3x)dy + 3xz^2dz$	$(2x + 3y)'''g(x, y)$
  77	求常数的值 $\lambda$ 使得	等于 $dz$ ，即函数的全微分 $z = f(x, y)$ 。求 $f(x, y)$ .
  	$(y \cos x + \lambda \cos y)dx + (x \sin y + \sin x + y)dy$

9.7 二元函数的泰勒定理

在本节中，我们将单变量情形的泰勒定理（定理 9.4）推广到二元函数，并将其应用于无约束和有约束的优化问题。