因此，如果 f(x, y) 存在，则

$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} \quad (9.31)$$

这为我们提供了一个检验 f(x, y) 是否存在的方法，但并没有告诉我们如何求出它！求 f(x, y) 的方法见例 9.38。

例 9.38 证明

$$(6x + 9y + 11)dx + (9x - 4y + 3)dy$$

是全微分，并在给定

$$\frac{dy}{dx} = -\frac{6x + 9y + 11}{9x - 4y + 3}$$

以及条件 $y = 1$ 当 $x = 0$ 时的情况下，求 y 与 x 之间的关系。

解 在本例中

$$P(x, y) = 6x + 9y + 11 \quad \text{and} \quad Q(x, y) = 9x - 4y + 3$$

首先我们检验该表达式是否为全微分。在本例中

$$\frac{\partial P}{\partial y} = 9 \quad \text{and} \quad \frac{\partial Q}{\partial x} = 9$$

所以由 (9.31) 可知这是一个全微分。因此我们知道存在一个函数 f(x, y)，使得

$$\frac{\partial f}{\partial x = 6x + 9y + 11, \quad (9.32)$$

$$\frac{\partial f}{\partial y} = 9x - 4y + 3 \quad (9.33)$$

对 (9.32) 关于 x 积分，保持 y 不变（即逆转偏微分过程），我们得到

$$f(x, y) = 3x^2 + 9xy + 11x + g(y) \quad (9.34)$$

注意积分的“常数”是 $y$ 的函数。你可以通过对 $f(x, y)$ 关于 $x$ 求偏导来验证这个表达式是正确的。但我们也从 (9.33) 知道 $f(x, y)$ 关于 $y$ 的偏导数，这使我们能够求出 $g'(y)$ 。将 (9.34) 关于 $y$ 求偏导并令其等于 (9.33)，我们得到

$$\frac{\partial f}{\partial y} = 9x + \frac{dg}{dy} = 9x - 4y + 3$$

（注意由于 $g$ 是 $y$ 只有我们使用 $dg/dy$ 而不是 $\partial g/\partial y$ 。) 因此

$$\frac{dg}{dy} = -4y + 3$$