$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} &= y \cos xy & \text{giving } \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right){(1,\pi/3)} &= \frac{1}{6}\pi \ \frac{\partial f}{\partial y} &= x \cos xy & \text{giving } \left( \frac{\partial f}{\partial y} \right){(1,\pi/3)} &= \frac{1}{2} \ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} &= -y^2 \sin xy & \text{giving } \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \right){(1,\pi/3)} &= -\frac{1}{18}\pi^2\sqrt{3} \ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} &= \cos xy - xy \sin xy & \text{giving } \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right){(1,\pi/3)} &= \frac{1}{2} - \frac{1}{6}\pi\sqrt{3} \ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} &= -x^2 \sin xy & \text{giving } \left( \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right)_{(1,\pi/3)} &= -\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{aligned}$$

因此，忽略三次及更高次的项，

$$\begin{aligned} \sin xy &\approx \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{6}\pi(x-1) + \frac{1}{2}(y-\frac{1}{3}\pi) - \frac{1}{36}\pi^2\sqrt{3}(x-1)^2 \ &\quad + (\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\pi\sqrt{3})(x-1)(y-\frac{1}{3}\pi) - \frac{1}{4}\sqrt{3}(y-\frac{1}{3}\pi)^2 \end{aligned}$$

MATLAB 也可以进行多变量的泰勒展开。例如，考虑例 9.39，命令

syms x y
f = sin(x*y)
T = taylor(f, [x, y], [1, pi/3], 'Order', 3)

返回级数的前三项，结果为

$$\begin{aligned} \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}y - \frac{1}{6}\pi + \frac{1}{6}(x-1)\pi - \frac{1}{36}\sqrt{3}(3)\pi^2(x-1)^2 + \ (\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\sqrt{3}\pi)(y-\frac{1}{3}\pi)(x-1) - \frac{1}{4}\sqrt{3}(y-\frac{1}{3}\pi)^2 \end{aligned}$$

这与解答中给出的答案一致。

9.7.2 无约束函数的优化

前面我们讨论了求单变量函数 $f(x)$ 的最大值和最小值的问题（见 8.5 节）。现在我们将注意力转向求二元函数 $f(x, y)$ 的最大值和最小值。从几何上看， $z = f(x, y)$ 表示三维空间中的一个曲面，其中 $z$ 是……的高度