上方的曲面 $x$ - $y$ 平面。假设 $f(x, y)$ 在点 $(a, b)$ 处取得局部最大值，如图 9.18(a) 所示。那么对于所有可能的（微小的） $h$ 值， $k$

$$f(a, b) > f(a + h, b + k)$$

使得差（增量）

$$\Delta f = f(a + h, b + k) - f(a, b)$$

为负。于是，只要偏导数存在且连续，利用泰勒定理我们可以将 $\Delta f$ 表示为 $f(x, y)$ 在 $(a, b)$ :

$$\Delta f = \left( h \frac{\partial f}{\partial x} + k \frac{\partial f}{\partial y} \right){(a,b)} + \frac{1}{2!} \left( h^2 \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2hk \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} + k^2 \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} \right){(a,b)} + \dots$$

处的偏导数的形式，其中 $h$ 和 $k$ 可以是负数或正数。由于 $h$ 和 $k$ 都很小， $\Delta f$ 的符号取决于

$$\left( h \frac{\partial f}{\partial x} + k \frac{\partial f}{\partial y} \right)_{(a,b)}$$

的符号。也就是说， $\Delta f$ 的符号取决于 $h$ 和 $k$ 的值。但对于 $f(x, y)$ 的最大值，在 $(a, b)$ 的符号 $\Delta f$ 必须为负，无论 $h$ 和 $k$ 取何值。这意味着要在 $(a, b)$ , $\partial f / \partial x$ 处取得最大值， $\partial f / \partial y$ 在该处必须为零。

如果 $f(x, y)$ 在 $(a, b)$ 处有局部最小值，如图 9.18(b) 所示，那么

$$f(a, b) < f(a + h, b + k)$$

并且，利用上述论证，我们发现在 $(a, b)$ , $\partial f / \partial x$ 处取得局部最小值需要 $\partial f / \partial y$ 必须再次为零。

图 9.18

因此，取得极大值或极小值的一个首要必要条件是

$$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \quad \text{at } (a, b)$$