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解
$$\frac{\partial f}{\partial x} = 6x^2 + 6y^2 - 150 \quad \text{and} \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 12xy - 9y^2$$
对于驻点，这两个偏导数均为零，由此得到
$$x^2 + y^2 = 25$$
以及
$$y(4x - 3y) = 0$$
从第二个方程可以看出，要么 $y = 0$ 要么 $4x = 3y$ 。将 $y = 0$ 代入第一个方程得到 $x = \pm 5$ ，因此点 $(5, 0)$ 和 $(-5, 0)$ 是这些方程的解。将 $x = \frac{3}{4}y$ 代入第一个方程得到 $y = \pm 4$ ，因此点 $(3, 4)$ 和 $(-3, -4)$ 也是该方程的解。于是该函数在以下点处有驻点： $(5, 0)$ , $(-5, 0)$ , $(3, 4)$ 和 $(-3, -4)$ 。
接下来我们需要将这些点分类为极大值点、极小值点或鞍点。计算二阶导数，我们得到
$$\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} = 12x, \quad \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} = 12x - 18y \quad \text{and} \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = 12y$$
并且我们可以完成下表。
| 点 | $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$ | $\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ | $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}$ | $\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right)^2$ | 性质 | 值 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| $(5, 0)$ | 60 | 60 | 0 | 正 | 极小值 | -500 |
| $(-5, 0)$ | -60 | -60 | 0 | 正 | 极大值 | 500 |
| $(3, 4)$ | 36 | -36 | 48 | 负 | 鞍点 | -300 |
| $(-3, -4)$ | -36 | 36 | -48 | 负 | 鞍点 | 300 |
这种情况在图 9.20 所示的函数等高线图（水平曲线）上显示得非常清楚。观察该图可以看到，等高线清晰地区分了鞍点与其他驻点，如图 9.19 所示。
图 9.20
以下函数的等高线图 $f(x, y) = 2x^3 + 6xy^2 - 3y^3 - 150x$ .
