图 9.19
驻点的性质：(a) 鞍点，(b) 极大值或极小值。

函数的等值线通常能清楚地显示极大值、极小值或鞍点出现的位置，如图 9.19 所示。

小结

(1) 函数 $f(x, y)$ 在 $(a, b)$ 处取得驻值的必要条件是

$$\frac{\partial f}{\partial x} = 0 \quad \text{and} \quad \frac{\partial f}{\partial y} = 0 \quad \text{at } (a, b)$$

$$(2) \text{ If } \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right)^2 > 0 \quad \text{and} \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \text{ or } \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} < 0 \quad \text{at } (a, b)$$

则该驻点是局部极大值点。

$$(3) \text{ If } \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right)^2 > 0 \quad \text{and} \quad \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \text{ or } \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} > 0 \quad \text{at } (a, b)$$

则该驻点是局部极小值点。

$$(4) \text{ If } \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right)^2 < 0 \quad \text{at } (a, b)$$

则该驻点是鞍点。

$$(5) \text{ If } \frac{\partial^2 f}{\partial x^2} \frac{\partial^2 f}{\partial y^2} - \left( \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} \right)^2 = 0 \quad \text{at } (a, b)$$

我们无法得出结论，该点可能是极大值点、极小值点或鞍点。需要进一步研究，可能需要考虑泰勒级数中的三阶项。

例 9.40

求函数的驻点

$$f(x, y) = 2x^3 + 6xy^2 - 3y^3 - 150x$$