9.7.3 习题

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• 79 求

80 证明 $(x + y)/(x^2 + 2y^2 + 6)$ 在 $(2, 1)$ 处取得极大值 $(-2, -1)$ 并在 $f(x, y) = x^3 + y^3 - 2(x^2 + y^2) + 3xy$ 处取得极小值。

81 证明 $(0, 0)$ 在 $(\frac{1}{3}, \frac{1}{3})$ 和 $N$ 处有驻点，并研究它们的性质。

82 某制造商以每批 $n$ 每周物品数量，使得平均存储的物品数量为 $\frac{1}{2}N$ 并且，当库存耗尽时，立即通过新的生产批次补充，证明每周成本 £K 由下式给出

$$K = 50 + 0.05N + 0.05n + \frac{100n}{N}$$

每周需求 $n$ 是售价的函数 $\mathbb{P}p$ ，且

$$n = 5000 - 10,000p$$

证明每周利润 $\mathcal{E}P$ 为

$$P = (5000 - 10,000p) \left( p - 0.05 - \frac{100}{N} \right) - 0.05N - 50$$

如果制造商能够同时决定批量大小 $N$ 和价格 $\mathcal{E}p$ ，证明在以下情况下实现最大周利润 $p = 0.3$ , 并求出 $N$ , $n$ 和 $P$ 的对应值。

83 点 $(x, y)$ 处的引力，由 $x$ - $y$ 平面内的质点产生，为

$$G(x, y) = \frac{1}{x} + \frac{4}{y} + \frac{9}{4 - x - y}$$

证明 $G(x, y)$ 在 9 处取得驻定值。

84 求常数 $a$ 和 $b$ ，使得

$$\int_0^\pi [\sin x - (ax^2 + bx)]^2 dx$$

取得最小值。

85 一个水箱呈长方体形状，顶部开口，容积为 $4 \text{ m}^3$ . 若底面尺寸（单位为 m）为 $x$ 由 $y$ 给出，证明其表面积（单位为 $\text{m}^2$ ）由下式给出

$$A = xy + \frac{8}{y} + \frac{8}{x}$$

并求出当 $A$ 取最小值时水箱的尺寸。

86 一块平面圆形金属板的形状由区域 $x^2 + y^2 \leq 1$ 定义。对金属板加热，使其上任一点 $T$ 处的温度 $(x, y)$ 由下式给出

$$T = x^2 + 2y^2 - x$$

求金属板上最热点与最冷点的温度以及这些点的位置。（提示： 考虑 $T$ .)

87 将一块金属薄板的两侧向上弯折角度 $x$ ，形成金属槽。如果薄板宽 200 mm，求 $\theta$ 和 $x$ 的值，使得槽的横截面最大。 $\theta$