9.7.4 约束函数的优化

正如我们在习题 9.7.3 的第 82 题和 85–87 题中所看到的，在工程应用中经常出现这样的情况：我们希望求得多于一个变量的函数的驻点值，而这些变量本身又受到一个或多个约束条件的限制。这些应用的一般理论在配套教材 Advanced Modern Engineering Mathematics 中有讨论。这里我们将展示求解此类问题的方法。

例 9.41 求函数的极值

$$f(x, y) = 2x^2 + 3y^2$$

约束条件为 $2x + y = 1$ 。

解 在这个具体例子中，很容易消去两个变量中的一个 $x$ 和 $y$ 。消去 $y$ 后，我们可以将 $f(x, y)$ 写成

$$f(x, y) = f(x) = 2x^2 + 3(1 - 2x)^2 = 14x^2 - 12x + 3$$

现在我们可以应用单变量函数的技巧来求极值。求导得

$$f'(x) = 28x - 12 \quad \text{and} \quad f''(x) = 28$$

当 $f'(x) = 0$ 时取得极值，即 $x = \frac{3}{7}$ , 且由于 $f''(\frac{3}{7}) > 0$ ，这对应于一个最小值。因此该极值是一个极小值 $f_{\min} = \frac{3}{7}$ 在 $x = \frac{3}{7}, y = \frac{1}{7}$ 处。

在例 9.41 中，我们很幸运地能够利用约束方程消去其中一个变量。然而在实践中，这样做往往困难，甚至不可能，因此我们必须保留所有原始变量。让我们考虑求 $f(x, y, z)$ 在约束条件 $g(x, y, z) = 0$ 下的驻点这一一般问题。我们将把这类点称为条件驻点。

在 $f(x, y, z)$ 的驻点处，我们有

$$df = \frac{\partial f}{\partial x} dx + \frac{\partial f}{\partial y} dy + \frac{\partial f}{\partial z} dz = 0 \quad (9.38)$$

这意味着向量 $(\partial f / \partial x, \partial f / \partial y, \partial f / \partial z)$ 垂直于向量 $(dx, dy, dz)$ 。由于 $g(x, y, z) = 0$

$$dg = \frac{\partial g}{\partial x} dx + \frac{\partial g}{\partial y} dy + \frac{\partial g}{\partial z} dz = 0 \quad (9.39)$$

因此，向量 $(\partial g / \partial x, \partial g / \partial y, \partial g / \partial z)$ 也垂直于向量 $(dx, dy, dz)$ 。这意味着向量 $(\partial f / \partial x, \partial f / \partial y, \partial f / \partial z)$ 平行于向量 $(\partial g / \partial x, \partial g / \partial y, \partial g / \partial z)$ 并且我们可以找到一个数 $\lambda$ 使得

$$\left( \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}, \frac{\partial f}{\partial z} \right) - \lambda \left( \frac{\partial g}{\partial x}, \frac{\partial g}{\partial y}, \frac{\partial g}{\partial z} \right) = (0, 0, 0) \quad (9.40)$$