仍然满足约束条件 $2x + y - 1 = 0$ ，我们有 $2h + k = 0$ ，因此 $k = -2h$ 。于是满足约束条件的驻点为 $(\frac{3}{7} + h, \frac{1}{7} - 2h)$ ，从而

$$\begin{aligned} f(\frac{3}{7} + h, \frac{1}{7} - 2h) - f(\frac{3}{7}, \frac{1}{7}) &= 2(\frac{3}{7} + h)^2 + 3(\frac{1}{7} - 2h)^2 - [2(\frac{3}{7})^2 - 3(\frac{1}{7})^2] \ &= 14h^2 > 0 \end{aligned}$$

由于该值为正，可知该点是一个极小值点，这证实了例 9.41 的结果。

一般而言，将条件驻点分类为极大值点、极小值点或鞍点可能非常困难，但在大多数工程应用中，可以通过物理推理来完成。

例 9.43 求表面积为 12 m2 的无盖长方体盒子具有最大容积时的尺寸。

解 设盒子的尺寸为 $x × y × z then we are required to maximize$

$$f(x, y, z) = xyz$$

约束条件为

$$xy + 2xz + 2yz = 12 \tag{9.45}$$

辅助函数为

$$\phi(x, y, z) = xyz + \lambda(xy + 2xz + 2yz - 12)$$

需要求解的方程组为

$$\frac{\partial \phi}{\partial x} = yz + \lambda(y + 2z) = 0 \quad (9.46)$$

$$\frac{\partial \phi}{\partial y} = xz + \lambda(x + 2z) = 0 \quad (9.47)$$

$$\frac{\partial \phi}{\partial z} = xy + \lambda(2x + 2y) = 0 \quad (9.48)$$

图 9.21
的等值线
$f(x, y) = 2x^2 + 3y^2$ .