取 $x \times (9.46) + y \times (9.47) + z \times (9.48)$ 给出

$$3xy_Z + \lambda(2xy + 4x_Z + 4y_Z) = 0$$

或

$$\lambda(xy + 2xz + 2yz) + \frac{3}{2}xyz = 0 \quad (9.49)$$

于是，由 (9.49) 和 (9.45)，

$$12\lambda + \frac{3}{2}xyz = 0$$

因此

$$\lambda = -\frac{1}{8}xyx$$

依次代入 (9.46)–(9.48) 并除以公因子，得

$$1 - \frac{1}{8}x(y + 2z) = 0 \quad (9.50)$$

$$1 - \frac{1}{8}y(x + 2z) = 0 \quad (9.51)$$

$$1 - \frac{1}{8}z(2x + 2y) = 0 \quad (9.52)$$

用 (9.50) 减去 (9.51)，得

$$\frac{1}{4}yz - \frac{1}{4}xz = 0$$    故    $y = x$    （因为显然 $z \neq 0$ ）

将其代入 (9.52)，我们得到

$$1 - \frac{1}{2}yz = 0, \quad \text{or} \quad yz = 2$$

代入此项及 $x = y$ 到 (9.50) 中得

$$1 - \frac{1}{8}y^2 - \frac{1}{2} = 0$$

即

$$y^2 = 4$$ ，或   $y = 2$ （因为 $y > 0$ ）

由此可得 $x = 2$ , $z = 1$ 。因此所求的尺寸为 $2 \text{ m} \times 2 \text{ m} \times 1 \text{ m}$ ，并且由物理考虑可知这对应于最大体积，因为最小体积为零（图 9.22）。

目标函数的水平面在 (2, 2, 1) 处与约束面相切。