流体的速度 $\mathbf{q}$ 是一个向量点函数。其各分量的值 $u$ 和 $v$ 取决于空间坐标 $x$ 和 $y$ 。单位时间内流入小矩形的是

$$u(x, \bar{y})\Delta y + v(\bar{x}, y)\Delta x$$

其中 $\bar{x}$ 位于 $x$ 和 $x x + \Delta x$ 之间，且 $\bar{y}$ 位于 $y$ 和 $y + \Delta y$ 之间。类似地，流出该矩形的流量为

$$u(x + \Delta x, \widetilde{y})\Delta y + v(\widetilde{x}, y + \Delta y)\Delta x$$

其中 $\tilde{x}$ 位于 $x$ 和 $x + \Delta x$ 之间，且 $\tilde{y}$ 位于 $y$ 和 $y + \Delta y$ 之间。由于矩形内没有流体产生或消失，我们可以令这两个表达式相等，得到

$$u(x, \bar{y})\Delta y + v(\bar{x}, y)\Delta x = u(x + \Delta x, \bar{y})\Delta y + v(\bar{x}, y + \Delta y)\Delta x$$

重新整理，我们得到

$$\frac{u(x + \Delta x, \tilde{y}) - u(x, \bar{y})}{\Delta x} + \frac{v(\tilde{x}, y + \Delta y) - v(\bar{x}, y)}{\Delta y} = 0$$

令 $\Delta x \rightarrow 0$ 和 $\Delta y \rightarrow 0$ 即得连续性方程

$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$$

流体实际上沿着称为流线的路径流动，因此没有流体穿越流线。于是由图 9.25 我们推得

$$v \Delta x = u \Delta y$$

因此

$$v , dx - u , dy = 0$$

该表达式为恰当微分的条件是

$$\frac{\partial}{\partial y}(v) = \frac{\partial}{\partial x}(-u)$$

或

$$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} = 0$$

对于不可压缩流动，这正是连续性方程，所以该条件成立，从而我们推得存在一个函数 $\psi(x, y)$ ，称为流函数，使得

$$v = \frac{\partial \psi}{\partial x} \quad \text{and} \quad u = -\frac{\partial \psi}{\partial y}$$

由此可知，如果我们已知 $u$ 和 $v$ （作为 $x$ 和 $y$ 的函数）满足连续性方程，那么我们就可以求出由下式给出的流线方程 $\psi(x, y) = \text{constant}$ .

图 9.24
通过
矩形元素的流动。

图 9.25
流线。