由于 $a_2 = 0$ （根据系数 $t^0$ ），我们有

$$a_5 = 0, \quad a_8 = 0, \quad \dots$$

因此剩下

$$f(t) = a_0 + a_3t^3 + a_6t^6 + a_9t^9 + \dots$$

代入 $a_3$ , $a_6$ , $a_9$ , $\dots$ 用 $a_0$ 表示，利用 (9.58)，得到

$$f(t) = a_0 \left( 1 - \frac{1}{3!}t^3 + \frac{1 \cdot 4}{6!}t^6 - \frac{1 \cdot 4 \cdot 7}{9!}t^9 + \frac{1 \cdot 4 \cdot 7 \cdot 10}{12!}t^{12} - \dots \right)$$

到目前为止我们只应用了在 $t = 0$ 处的条件。现在我们应用在 $t = T$ 处的条件，即 $f(T) = 0$ . 这给出

$$a_0 \left( 1 - \frac{1}{3!}T^3 + \frac{4}{6!}T^6 - \frac{4 \cdot 7}{9!}T^9 \dots \right) = 0$$

因此要么

$$a_0 = 0 \quad \text{or} \quad 1 - \frac{1}{3!}T^3 + \frac{4}{6!}T^6 - \frac{4 \cdot 7}{9!}T^9 + \dots = 0$$

这意味着没有挠度（ $a_0 = 0$ ），除非

$$1 - \frac{1}{3!}T^3 + \frac{4}{6!}T^6 - \frac{4 \cdot 7}{9!}T^9 + \dots = 0$$

满足该方程的最小值 $T$ 给出了柱的临界高度。在该高度处， $a_0$ 的值变得任意（且非零），柱发生屈曲。临界值 $T$ 的一个初步近似可以通过求解二次方程（关于 $T^3$ )

$$1 - \frac{1}{3!}T^3 + \frac{4}{6!}T^6 = 1 - \frac{1}{6}T^3 + \frac{1}{180}(T^3)^2 = 0$$

）得到，给出 $T^3 = 8.292$ 。这可以使用牛顿–拉夫逊方法 (9.19) 进一步精化，最终得到临界长度 $L$ 就……而言 $E$ , $I$ 和 $w$ :

$$L = 1.99(EI/w)^{1/3}$$

详细计算留给读者作为练习。

9.9 工程应用：流体动力学中的流线

正如我们之前提到的（第 9.6.10 节），微分常出现在实际问题的数学建模中。流体动力学中就有这样一个例子。考虑二维定常不可压缩流体流动的情形。使用直角笛卡尔坐标 $(x, y)$ 描述流体中的一点，设 $u$ 和 $v$ 分别为流体在 $x$ 和 $y$ 方向上的速度。然后，通过考虑如图 9.24 所示的小矩形每单位时间的流入与流出，我们得到 $u(x, y)$ 和 $v(x, y)$ 这描述了矩形中没有流体损失或增加的事实；也就是说，流体是守恒的。