其中 $C$ 是一个常数。将其代回为 $\psi(x, y)$ 所求得的表达式中，我们得到

$$\psi(x, y) = \frac{1}{2} \ln(x^2 + y^2) + C$$

流动的一条流线由方程 $\psi(x, y) = k$ 给出，其中 $k$ 是一个常数。经过简单整理，得到

$$x^2 + y^2 = a^2 \quad \text{and} \quad \ln a = k - C$$

相应的流线如图 9.26 所示。这是涡流的一个例子。

9.10 复习题（1–35）

尽可能使用 MATLAB 检查你的答案。

图 9.26
涡流。

1 使用牛顿–拉夫逊方法求根

$$e^x - x^2 + 3x - 2 = 0$$

在区间内 $0 \leq x \leq 1$ 。从 $x = 0.5$ 开始，并给出精确到小数点后 4 位的根。

2 长度为 $l$ 的均匀梁，其抗弯刚度为 $EI$ ，单位长度重量为 $w$ ，受轴向力 $P$ 作用，其中点处的挠度为

$$d = \frac{w}{m^2 P} (\sec \frac{1}{2} ml - 1) - \frac{wl^2}{8P}$$

其中 $m^2 = P/EI$ 。作代换 $\theta = \frac{1}{2}ml$ 后，证明

$$d = \frac{wl^4}{32EI} \frac{2 \sec \theta - 2 - \theta^2}{\theta^4}$$

权重。首先将 $\sec\theta$ 用其麦克劳林级数展开表示，证明

$$\lim_{\theta \rightarrow 0} d = \frac{5wl^4}{384EI}$$

3 利用 $e^x$ 的麦克劳林级数展开，求 $x/(e^x - 1)$ 的麦克劳林级数展开，精确到 $x^4$ 的项，并由此求得近似值

$$\int_0^1 \frac{x}{e^x - 1} dx \approx \frac{311}{400}$$

4 用洛必达法则求

$$\lim_{x \rightarrow 1} \frac{\ln x}{x^2 - 1}$$