5 求

$$\lim_{x \rightarrow 2} \frac{2 \sin kx - x \sin 2k}{2(4 - x^2)}$$

其中 k 为常数。

6 证明方程

$$x^3 - 2x - 5 = 0$$

在 $x = 2$ 的邻域内有根，并用牛顿–拉弗森方法求出该根，精确到三位有效数字。

7 (a) 求 sinh x 和 cosh x 的麦克劳林级数展开式。

(b) 一根电报线被拉紧架设在两根等高的电线杆之间，两杆相距 2l。中点处的垂度为 h。若按图 9.27 所示选取坐标轴，可以证明电线所形成的曲线方程为

$$y = c \cosh \frac{x}{c}$$

其中 c 为待定常数（见例 8.70）。

(i) 证明电线的长度 2s 由下式给出

$$2s = 2c \sinh \frac{l}{c}$$

(ii) 若电线拉得很紧，即 h/c 很小，则可以证明 l/c 也很小。忽略高于二次的 l/c 的幂，证明

$$\frac{h^2}{l^2} \approx \frac{1}{4} \left( \frac{l}{c} \right)^2$$

由此证明电线的长度近似为

$$2l \left[ 1 + \frac{2}{3} \left( \frac{h}{l} \right)^2 \right]$$

8 证明

$$\int_0^\infty \operatorname{sech} x , dx = \pi$$

并由此推出 $\int_0^1 \operatorname{sech}^{-1}x , dx$ 。

9 求值

$$(a) \int_1^\infty \frac{1}{x^3} dx$$

$$\frac{1}{x^3} dx \quad (b) \quad \int_0^\infty \frac{1}{x^2 + 2x + 2} dx$$

$$(c) \int_0^\infty x e^{-4x} dx$$

(d) $$\int_1^\infty \frac{\ln x}{x^3} dx$$

$$(e) \int_0^\infty e^{-2x} \cos x dx.$$

$$\int_0^\infty e^{-2x} \cosh x , dx \quad (\text{f})$$

10 求值

$$(a) \int_0^8 x^{-1/3} dx \quad (b) \int_0^{\infty} x^{-1/3} dx$$

$$\int_{3/2}^6 \frac{1}{\sqrt{(2x-3)}} dx$$

$$(c) \int_0^1 \ln x , dx$$

在每种情况下指出被积函数变为无界的 x 的值。

11 利用泰勒级数证明该近似的截断误差主项为

$$f''(a) \approx [f(a + h) - 2f(a) + f(a - h)]/h^2$$

是 ^{1 12} h² f (4)(a)。

考虑函数 $f(x) = x^x$ 。用上述近似在 $f''(1)$ 和 $h = 0.01$ 处估计该值，并将你的答案与真实值进行比较。

12 一个粒子在三维空间中运动，其在时刻 t（秒）的位置由向量 (4 cost, 4 sin t, 3) 给出，其中距离以米为单位。求其速度和加速度的大小。 $h = 0.02$ 图 9.27 第 7 题的电报线。