周期 $T$ 从初始位移开始的振动 $a$ 由下式给出

$$T = 4\sqrt{2} \int_0^a \frac{1}{\sqrt{(a^4 - x^4)}} dx$$

使用代换 $x^2 = a^2 \sin \theta$ 将该积分变换为

$$T = \frac{2\sqrt{2}}{a} \int_0^{\pi/2} \sin^{-1/2} \theta , d\theta$$

使用递推关系

$$(r + 1)F(r) = (r + 2)F(r + 2)$$

其中

$$F(r) = \int_0^{\pi/2} \sin^r x , dx, \quad r > -1$$

证明

$$T = \frac{42\sqrt{2}}{5a} \int_0^{\pi/2} \sin^{7/2} \theta , d\theta$$

并使用梯形法则计算该积分。

34 长度为 $T$ 的单摆的振动周期 $l$ 由下式给出

$$T = 4 \sqrt{\left(\frac{l}{g}\right)} \int_0^{\pi/2} \frac{1}{\sqrt{(1 - \sin^2 \frac{1}{2}) \alpha \sin^2 \phi}} d\phi$$

通过将被积函数展开为关于 的幂级数 $\sin^2 \frac{1}{2}\alpha$ 证明

$$T = 2\pi \sqrt{\left(\frac{l}{g}\right)} [1 + 4\sin^2\frac{1}{2}\alpha + \frac{9}{64}\sin^4\frac{1}{2}\alpha + \dots]$$

35 (a) 一艘油轮在礁石上搁浅，其油舱破裂。假设油在海面上形成一层厚度均匀的油层，且泄漏速率恒定，证明在静水中油污外边界半径 增大的速率与 成正比 $r$ (b) 泄漏发生在以恒定速度 向北流动的海流中。假设油随海流运动的速度是油在静水中的速度与海流速度的向量和，证明在点 处油相对于遇难油轮的速度 由下式给出 $1/r$ .

• 其中 $V$ 其中 $(u, v)$ 其中 $(x, y)$ 其中

$$u = \frac{kx}{x^2 + y^2}, \quad v = V + \frac{ky}{x^2 + y^2}$$

其中 $k$ 是一个比例常数，且 $x$ 和 $y$ 轴分别沿向东和向北的方向绘制（见图 9.29）。

• (c) 推导出浮油所到达的最南端点 $(0, -c)$ 由下式给出 $c = k/V$ .
• (d) 证明，经过很长一段时间后，浮油占据的区域其边界 $y = f(x)$ 是微分方程的解

$$\frac{dy}{dx} = \frac{x^2 + y^2 + cy}{cx}$$

且该解还满足条件 $y = -c$ 在 $x = 0$ .

• (e) 使用代换 $y = xz$ 将 (d) 部分的微分方程和初始条件变换为微分方程

$$c \frac{dz}{dx} = 1 + z^2 \quad (9.59)$$

其中 $z \rightarrow -\infty$ 如 $x \rightarrow 0+$ .

• (f) 证明 (9.59) 的解连同边界条件为 $z = -\cot \frac{x}{c}$ . 由此求出 $y$ 并画出其图像。

图 9.29