此曲线上一点 P 处的切线，其中 $l = t_0$ 由下式给出

$$\frac{x - x_0}{x'_0} = \frac{y - y_0}{y'_0} = \frac{z - z_0}{z'_0}$$

其中 $x_0 = x(t_0)$ , $x'_0 = x'(t_0)$ ，依此类推。

从而求出圆柱螺线

$$x = a \cos t, \quad y = a \sin t, \quad z = at$$

从而求出圆柱螺线

$$x = a \cos t, \quad y = a \sin t, \quad z = at$$ 在 $t = \frac{1}{4} \pi$ 处的切线方程，并证明该螺线在 $t = 0$ 与 $t = \frac{1}{2} \pi$ 之间的长度为 $\pi a / \sqrt{2}$ 。24 证明 $u = f(x + y) + g(x - y)$ 满足微分方程

$$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} = 0$$

25 证明若

$$\phi(x, t) = \frac{f(z)}{\sqrt{t}} \quad \text{and} \quad z = \frac{x}{2\sqrt{t}}$$

则

$$\frac{\partial \phi}{\partial t} = \frac{zf'(z) + f(z)}{2t\sqrt{t}}$$

并求出 $\partial^2\phi/\partial x^2$ 的类似表达式。

推导出若

$$\frac{\partial^2 \phi}{\partial x^2} = \frac{1}{k} \frac{\partial \phi}{\partial t}$$

则

$$kf''(z) + 2zf'(z) + 2f(z) = 0$$

26 水波沿 x 轴方向以速度 c 传播。其在时刻 t 的高度 h 由下式给出

$$h(t) = a \sin(x - ct)$$

其中 $a$ 为常数。一个小软木塞浮在水面上，被风吹向 $x$ 轴方向，以恒定速度运动 $U$ . 证明软木塞在时刻的垂直加速度为 $t$ 由下式给出

$$\frac{d^2 h}{dt^2} = -(U - c)^2 h$$

27 无粘性不可压缩流体在 $x$ 方向和 $y$ 方向上的速度分量分别为 $u$ 和 $v$ ，其中

$$u = \frac{x^2 - y^2}{(x^2 + y^2)^2} \quad \text{and} \quad v = \frac{2xy}{(x^2 + y^2)^2}$$

求流函数 $\psi(x, y)$ 使得

$$d\psi = v , dx - u , dy$$

并验证它满足拉普拉斯方程

$$\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} = 0$$

28 证明函数

$$f(x, y) = x^2y^2 - 5x^2 - 8xy - 5y^2$$

有一个极大值点和四个鞍点。画出曲面 $z = f(x, y)$ 位于第一卦限内的部分。

29 确定曲面上的驻点的位置和性质

$$z = e^{-(x+y)}(3x^2 + y^2)$$

30 一个容量为 $1 \text{ m}^3$ 的水槽要用金属板制成，形状如图 9.28 所示。计算使用金属量最少的尺寸。（*提示：*令 $y = xY$ 和 $z = xZ$ 并证明所需金属板的面积为

$$\frac{2(1+Y \cos \theta)Y \sin \theta + (2Y+1)Z}{[(1+Y \cos \theta)Y Z \sin \theta]^{2/3}})$$

31 求函数的临界点

$$z = 12xy - 3xy^2 - x^3$$

并确定每个点的性质。

32 求函数的局部极大值和极小值

$$f(x, y) = y^2 - 8x + 17$$

在约束条件

$$x^2 + y^2 = 9$$

图 9.28 第 30 题的槽。