10.1 引言

数学模型在工程分析和工程设计中所起的重要作用在本书前面已有论述。在建立物理系统的数学模型时，我们常常需要表达诸如“A 的加速度与 B 成正比”或“D 的变化引起 E 成比例的变化，比例常数为 F”这样的关系。这样的表述自然会产生包含模型中变量的导数和积分以及变量本身的方程。引入导数的方程称为微分方程。本章首先讨论微分方程的一般特性，然后介绍求解一阶微分方程的方法，最后考察二阶及更高阶微分方程的解法。

微分方程有两大主要类别。我们在第 8 章中遇到了单变量函数的微分概念，然后在第 9 章中遇到了多变量函数的偏微分概念。微分方程可能包含常导数或偏导数；只包含常微分的方程称为常微分方程，包含偏微分的方程称为偏微分方程，通常缩写为 ODE 和 PDE。

在本章的其余部分，我们将集中学习求解常微分方程最常用的技术。这并不是因为偏微分方程在工程中不重要。相反，偏微分方程有许多应用，但求解它们的方法与求解常微分方程的方法有很大不同。偏微分方程的求解涉及更高等的数学，在配套教材《Advanced Modern Engineering Mathematics》中有相关介绍。

10.2 工程实例

首先，我们将给出一些自然产生微分方程的工程问题的例子。随后我们将学习一些技术，使我们能够求出这些方程的解，从而对所建模的工程系统做出预测。

10.2.1 飞机的起飞滑跑

航空工程师需要能够预测飞机安全起飞所需的跑道长度。为此，需要建立飞机在起飞滑跑过程中所受力的数学模型，并确定各力之间所满足的关系。图 10.1 显示了一架飞机及其所受的力。如果飞机的质量为 m，重力会产生向下的力 mg。通过机轮存在地面反作用力，记为 G，还有一个空气动力升力 L。发动机提供推力 T，它受到空气动力阻力 D 和与地面接触产生的滚动阻力 R 的对抗。由于飞机沿