10.4.1 通过观察求解

某些微分方程的解可以通过回忆一些关于微分的结果来求得。

例 10.6 面对微分方程

$$\frac{dx}{dt} = -4x \quad (10.10)$$

我们可能会想起，如果 $x(t) = e^{-4t}$ 那么

$$\frac{dx}{dt} = -4e^{-4t} = -4x$$

换句话说，函数 $x(t) = e^{-4t}$ 是该微分方程的一个解。

例 10.7 微分方程

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \lambda^2x = 0 \quad (10.11)$$

可以通过回忆起如下结果来求解：

$$\frac{d^2}{dt^2}(\sin \alpha t) = -\alpha^2 \sin \alpha t$$

因此，函数 $x(t) = \sin \lambda t$ 满足该微分方程。

许多微分方程都可以通过与例 10.6 和例 10.7 类似的方式通过观察求解。观察求解需要识别方程及其与熟悉的微分结果的联系。因此它依赖于经验和灵感，也正因如此，它只适用于求解最简单的微分方程。在本章中，保留了对 MATLAB 和 MAPLE 的引用。

MATLAB 可以轻松求解这类微分方程。在 MATLAB 中，微分方程的解析解使用 dsolve 命令计算。一阶微分方程

$$\frac{dx}{dt} = f(t, x)$$

的通解由以下命令给出

syms x{t} dsolve(equation)