10.3.5 习题

(a) d d

d d 2 2 p z

p z

$- + (\sin z)p = \ln z$

(b) ^d d d

^{d e}

s t

$$- + (\sin t) \frac{ds}{dt} + (t + \cos t)s = e^t$$ (c) ^d d d d d d

3

^{12 2}

^{2 46 80 p}

y

p y

p y

^p

$$\left( - \right) + 4\frac{d^2p}{dy^2} - 6\frac{dp}{dy} + 8p =$$ /

(d) d d r z

$z^2 + z = 0$

$$(e) \quad \frac{dx}{dt} = f(t)x$$ (f) ^d d x t

$$f = f(t)x + g(t)$$ (g) ^d d

d d

3 3

^{2 40 p}

q

$$- + \frac{d^2 p}{dq^2} p + 4q^2 =$$ (h) ^d d 2

²² 1

x y

$$x^2 = \frac{y}{x^2 - 1}$$ (i) (sin ) cos ^{z y} z

z z y

d d

$$+ \frac{\cos z}{z}y = 0$$ 1 指出下列各微分方程的阶数，并说明其因变量和自变量。将每个方程分类为线性齐次、线性非齐次或非线性微分方程。

(a) ^d d x t

$- + 2x = 0$

(b) ^d d d d

2

^{2 23 0 x}

t

$$- + 2 \frac{dx}{dt} + 3x =$$ $$(c) \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + x = 0$$ (d) ^d d x t

$- + 2x = t^2$

(e) ^d d d

^{d e}

^{2 4 x}

t

x t

$- + \frac{dx}{dt} - 4x = \cos t + e^t$

2 将下列微分方程分类为线性齐次、线性非齐次或非线性微分方程，指出其阶数，并说明其因变量和自变量。

10.4 求解微分方程

到目前为止，我们已经说过微分方程是表示因变量与该变量对自变量的导数之间关系的方程。现在我们将研究一些求解微分方程的方法。不过，首先我们应该思考一下，我们期望解具有什么样的形式。

当我们求解一个代数方程时，我们期望解是一个数（例如，方程 $4x + 9 = 7$ 的解 $x = -\frac{1}{2}$ ），或者可能是一组数（例如，像 $x^3 - 5x^2 + 8x - 12 = 0$ 这样的三次多项式方程的解是 $x$ ，它是三个实数或复数组成的集合中的一个）。同样，涉及向量和矩阵的方程的解是常向量或一组常向量中的一个。另一方面，微分方程所涉及的不是一个简单的标量或向量变量，而是一个函数及其导数。因此，微分方程的解不是一个单一的值（或一组值中的一个），而是一个函数（或一族函数）。记住这一点，让我们继续往下讲。