在求解微分方程时，通常应寻求与问题所给约束条件相容的通解。如果不这样做，我们就有可能忽略问题的某些特征，而这些特征可能对所分析的工程设备或系统的性能、效率甚至安全性产生严重影响。

10.4.3 边界条件与初始条件

微分方程通解中的任意常数通常可以通过应用其他条件来确定。

例 10.9 求函数 $x(t)$ 使其满足微分方程

$$\frac{dx}{dt} = -4x$$

并且当 $t = 0$ 时取值为 2.5。

解 我们前面（见 10.4.2 节）已经指出， $x(t) = Ae^{-4t}$ 是该微分方程的一个解。（这可以通过对

$$\frac{dx}{dt} = -4x$$

求导得到 $x(t)$ 并代入微分方程来验证。）但解 $\frac{dx}{dt}$ 在 $x(t) = Ae^{-4t}$ 处的值不是 2.5 $t = 0$ 如示例所要求。我们可以通过以下方式施加边界条件： $x(0) = 2.5$ 得到

$$Ae^{-4 \times 0} = Ae^{-0} = A = 2.5$$

因此满足边界条件的解为 $x(t) = 2.5e^{-4t}$ 。

像例 10.9 中那样，对微分方程的解附加的条件称为边界条件。在所有边界条件都在自变量的同一取值处给出的特殊情形下，这些边界条件称为初始条件。在许多情况下，在边界条件被指定之前，把微分方程视为不完整的会更方便。微分方程连同其边界条件一起被称为边值问题，除非边界条件满足作为初始条件的要求，此时微分方程连同其边界条件一起被称为初值问题。

例 10.10 求满足初值问题的函数 $x(t)$

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \lambda^2x = 0 \quad x(0) = 4, \quad \frac{dx}{dt}(0) = 3, \quad \lambda \neq 0$$