解答 由 10.4.2 节可知，该微分方程的通解为

$$x(t) = A \sin \lambda t + B \cos \lambda t$$

我们可以通过将 x(t) 求两次导并代入微分方程，来验证这个 x(t) 确实满足该微分方程。将这个 x(t) 代入，我们得到

$$\frac{dx}{dt} = \lambda A \cos \lambda t - \lambda B \sin \lambda t$$

应用初始条件得到方程

0A + 1B = 4

$$\lambda A + 0B = 3$$

从而得到解

$$x(t) = \frac{3}{\lambda} \sin \lambda t + 4 \cos \lambda t$$

这就是该初值问题的特解。

例 10.11 求满足以下边值问题的函数 x(t)

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \lambda^2x = 0 \quad x(0) = 4, \quad \frac{dx}{dt}\left(\frac{\pi}{\lambda}\right) = 3, \quad \lambda \neq 0$$

解答 与上一个例子一样，该微分方程的通解为

$$x(t) = A \sin \lambda t + B \cos \lambda t$$

因此

$$\frac{dx}{dt} = \lambda A \cos \lambda t - \lambda B \sin \lambda t$$

应用边界条件得到方程

0A + 1B = 4

$$-\lambda A + 0B = 3$$

从而得到特解

$$x(t) = -\frac{3}{\lambda} \sin \lambda t + 4 \cos \lambda t$$

显然，由于一阶微分方程的解中只有一个任意常数，因此只需一个边界条件即可确定该常数，所以一阶方程的边界条件总可以当作初始条件来处理。对于更高阶的方程（以及耦合的一阶方程组），初值问题与边值问题之间的区别十分重要，尤其是因为一般来说，初值问题比边值问题更容易求解。