这些增加的大量工作大部分可以委托给计算机来完成（这有时也被认为是数值解优于解析解的一个论据）。

最后，应当指出的是，随着计算机符号处理系统（通常称为计算机代数系统）的出现，这种关于微分方程解析解与数值解对比的较为简化的概述正变得越来越模糊。在本章的其余部分，我们将同时研究常微分方程的数值解法和解析解法。

10.4.5 习题

$$(g) \quad \frac{dx}{dt} = 2x, \quad x(0) = 1$$

$$(h) \quad \frac{d^2 x}{dt^2} - x = 0, \quad x(0) = 0, \quad x(1) = 1$$

5 指出下列哪些问题是欠定的（即边界条件不足以确定通解中的所有任意常数），哪些是完全确定的。对于完全确定的问题，指出哪些是边值问题，哪些是初值问题。（不要试图求解这些微分方程。）

$$(a) \ 4x \frac{d^2x}{dt^2} + \left( 2t^2 - \frac{1}{x} \right) \frac{dx}{dt} - 4x^2t = 0, \quad x(0) = 4$$

$$(b) \left( \frac{d^3 x}{dt^3} \right)^2 + t \frac{d^2 x}{dt^2} - x \left( \frac{d x}{dt} \right)^2 = 0$$

$$x(0) = 0, \quad \frac{dx}{dt}(0) = 1, \quad x(2) = 0$$

$$(c) \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 - x^2 = \sin t, \quad x(0) = a$$

$$(d) \quad \frac{d^4 x}{dt^4} + 4 \frac{d^3 x}{dt^3} - 2 \frac{d^2 x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} - 4x = e^t$$

$$x(0) = 1, \quad x(2) = 0$$

(e) $$\frac{d^2x}{dt^2} - 2t\frac{dx}{dt} = t^2 - 4$$ , $x(0) = 1$ , $x(2) = 0$

3 求出下列微分方程的通解。在每种情况下，说明你预计在通解中会找到多少个任意常数。你的预期在实践中得到了验证吗？

$$(a) \quad \frac{dx}{dt} = 4t^2$$

(b) $$\frac{d^2x}{dt^2} = t^3 - 2t$$

$$(c) \quad \frac{d^2 x}{dt^2} = e^{4t}$$

$$- = e^{4t} \qquad (d) \quad \frac{dx}{dt} = -6x$$

$$(e) \quad \frac{d^3x}{dt^3} = \frac{2}{t^3} + \sin 5t \quad (f) \quad \frac{d^2x}{dt^2} = 8x$$

$$(f) \quad \frac{d^2x / dt^2 = 8x$$

4 对于下列每个微分方程问题，说明你预计在满足该问题的最一般解中会找到多少个任意常数。求出解并检验你的预期是否得到证实。

$$(a) \quad \frac{d^2 x}{dt^2} = 4t, \quad x(0) = 2$$

(b) $$\frac{d^2x}{dt^2} = \sin 2t$$ , $x(\frac{1}{4}\pi) = 2$ , $x(\frac{3}{4}\pi) = 2$

$$(c) \quad \frac{dx}{dt} = 4$$

$$(d) \quad \frac{dx}{dt} + 2t = 0, \quad x(1) = 1$$

(e) $$\frac{d^2x}{dt^2} = 2e^{-2t}$$ , $x(0) = a$

$$(f) \quad \frac{dx}{dt} - 2 \sin 2t = 0$$