$$(f) \frac{d^2x}{dt^2} + 2x \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 - \frac{x}{t} = 0$$

$$x(1) = 0, \quad \frac{dx}{dt}(1) = 4$$

$$(g) \left( \frac{d^2x}{dt^2} \right)^2 + 2t = 0, \quad \frac{dx}{dt}(2) = 1$$

$$(h) \frac{d^3x}{dt^3} \frac{dx}{dt} + x \frac{d^2x}{dt^2} = 2t^2$$

$$x(0) = 0, \quad \frac{dx}{dt}(0) = 0$$

$$(i) \left( \frac{d^3x}{dt^3} \right)^{1/2} + t \frac{d^2x}{dt^2} + x \frac{dx}{dt} - \frac{x}{t} = 0$$

$$x(1) = 1, \quad \frac{dx}{dt}(1) = 0, \quad \frac{d^2x}{dt^2}(3) = 0$$

$$(j) \frac{dx}{dt} = (x - t)^2, \quad x(4) = 2$$

$$(k) \frac{d^2x}{dt^2} - 4 \frac{dx}{dt} + 4x = \cos t, \quad x(1) = 0, \quad x(3) = 0$$

$$(l) \frac{1}{t} \frac{d^3x}{dt^3} - t^2 \left( \frac{dx}{dt} \right)^2 + x \left( \frac{dx}{dt} \right)^{1/2} - (t^2 + 4)x = 0$$

$$x(0) = 0, \quad \frac{dx}{dt}(0) = U, \quad \frac{d^2x}{dt^2}(0) = 0$$

6

一根长度为 $a$ 、单位长度重量为 $w$ 的均匀水平梁 OA，在 O 处水平固定，在 A 处自由支承。梁的横向位移 $y$ 由如下微分方程控制

$$EI \frac{d^2y}{dx^2} = \frac{1}{2}w(a - x)^2 - R(a - x)$$

其中 $x$ 是沿梁从 O 起算的距离， $R$ 是 A 处的反力， $E$ 和 $I$ 是物理常数。在 O 处，边界条件

为 $y(0) = 0$ 和 $\frac{dy}{dx}(0) = 0$ . 求解该

微分方程。A 处的边界条件是什么？利用该边界条件确定反力 $R$ . 由此求出梁的最大横向位移。

练习 10.4.5 中第 3、4 和 6 题的所有微分方程都可以用 MATLAB 求解。

第 4(g) 题可以用 MATLAB 按如下方式求解

$$\begin{aligned} \text{syms } x(t) \ \text{dsolve } (\text{diff } (x, t) = 2^*x, x(0) = 1) \end{aligned}$$

现在，作为练习，请使用 MAPLE 或 MATLAB 检验你对第 3、4 和 6 题的解答。

10.5一阶常微分方程在本章接下来的三节中，我们将把注意力集中在一阶微分方程的求解上。这并不像乍看起来那样有局限性，因为高阶微分方程可以（采用我们稍后会遇到的一种方法，见 10.11.2 节）表示为耦合的一阶微分方程组。用于求解一阶方程的某些方法，特别是数值方法，也适用于这类耦合的一阶方程组，因此可用于求解高阶微分方程。