将计算进行到所需的精度。关于所需精度的工程决策通常将基于结果的实际用途。例如，如果正在进行的是一项初步设计研究，那么相对近似的答案往往就足够了；而对于最终的设计工作，通常则需要精确得多的答案。必须认识到，要求超出当前工程目的实际所需的更高精度，通常会在时间、精力或成本上付出代价。

让我们设想，对于例 10.21 中提出的问题，我们已决定需要 $x(1)$ 的值，精确到 1%。在通常需要借助数值求解的情况下，我们并没有解析解可用，因此必须忽略那个解析解。于是我们假设已经得到了 $X_a(1)$ 和 $X_b(1)$ 的值，并希望预测为获得精确到 1% 的 $x(1)$ 的更好近似所需的步长。已知 $X_b(1)$ 的误差应约为 $X_a(1)$ 误差的一半，这表明 $X_b(1)$ 的误差将大致等于 $X_a(1)$ 和 $X_b(1)$ 的误差之差，也就是 $X_a(1)$ 以及 $X_b(1)$ ；也就是说，0.17266。由于 $X_b(1)$ 的 1% 大约为 0.03，大约是 $X_b(1)$ 中误差的六分之一，我们预计使用大约六分之一的步长即可得到 $X_b$ ；也就是说，步长为 $h = 0.00833$ 。当然，在实际中，我们会将其舍入为更方便的非循环小数，例如 $h = 0.008$ 。这一过程与前面介绍的用于估计收敛序列和级数极限的 Aitken 外推法密切相关（见第 7.5.3 节）。

例 10.22 计算满足初值问题 $X(1)$ 的 $x(1)$ 值的近似

$$\frac{dx}{dt} = \frac{x^2}{t+1}, \quad x(0) = 1$$

，使用欧拉法，步长为 $h = 0.008$ 。

解答 值得在此指出的是，例 10.21 中所进行的计算完全可以在任何手持计算器上合理地完成，但这个新的计算需要 125 步。这样做已经接近手持计算器所能合理完成的极限，更适合用计算机来完成。以步长 $h = 0.008$ 重复计算得到的结果 $X(1) = 3.21391$ 。

我们根据已有的证据（即使用步长 $X(1)$ 和 $h = 0.1$ 得到的 $0.05$ 的值）估计，步长 $h = 0.008$ 应能提供误差约为 1% 的 $X(1)$ 的值。将我们刚刚计算出的值与精确解进行比较后发现，其实际误差约为 1.4%。这并没有完全达到我们设定的 1% 的目标。因此，这个例子首先说明了如何根据用欧拉方法以不同步长得到的两个 $x(1)$ 的近似值，来估计在期望精度内计算近似值所需的步长；其次，强调了合适步长的估计仅仅是一个估计，并不能保证所得的近似解满足期望的精度标准。如果我们当时更加