10.6.3 Using numerical methods to solve engineering problems

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解答通过分离变量法可求得精确解为

$$x = \frac{1}{1 - \ln(t + 1)}$$

数值解 Xa 和 Xb 及其误差如图 10.11 所示。当然，在此图中 Xa 的值在每一步都有记录，而 Xb 的值只在隔步记录。

同样，图 10.11 的最后一列表明，我们关于使用欧拉法求解微分方程时步长减半所产生的效果的预期得到了证实。误差之比当然并不恰好是二分之一，因为误差中还存在一些我们忽略的高阶项。

t		X a		X b	x	( t )	x	− X a	x	− X b	− x X b − x X a
0.000	1.000	00	1.000	00	1.000	00
0.100	1.100	00	1.102	50	1.105	35	0.005	35	0.002	85	0.53
0.200	1.210	00	1.216	03	1.222	97	0.012	97	0.006	95	0.54
0.300	1.332	01	1.342	94	1.355	68	0.023	67	0.012	75	0.54
0.400	1.468	49	1.486	17	1.507	10	0.038	61	0.020	92	0.54
0.500	1.622	52	1.649	52	1.681	99	0.059	47	0.032	47	0.55
0.600	1.798	03	1.837	91	1.886	81	0.088	78	0.048	90	0.55
0.700	2.000	08	2.057	92	2.130	51	0.130	42	0.072	59	0.56
0.800	2.235	40	2.318	57	2.425	93	0.190	53	0.107	36	0.56
0.900	2.513	01	2.632	51	2.792	16	0.279	15	0.159	65	0.57
1.000	2.845	39	3.018	05	3.258	89	0.413	50	0.240	84	0.58

图 10.11 例 10.21 的计算结果。

MAPLE 和 MATLAB 都可用于求微分方程的数值解。两者都封装了高度复杂的数值方法，能够生成非常精确的数值解。

10.6.3 用数值方法求解工程问题

在例 10.21 中，Xa 和 Xb 的数值误差相当大（最坏情况下高达约 14%）。虽然用这样大的误差进行计算对于说明计算方法的数学性质十分有用，但在工程计算中，我们通常需要将误差控制得小得多。误差必须小到什么程度，很大程度上取决于工程判断。工程师必须针对给定的工程目的决定结果需要达到怎样的精度。然后，工程师需要运用现有的数学技术和知识来