43 用欧拉法求解初值问题

$$\frac{dx}{dt} = \frac{xt}{t^2 + 2}, \quad x(1) = 2$$

使用步长 $h = 0.1$ 记为 $X_a(t)$ ，而使用 $h = 0.05$ 的记为 $X_b(t)$ 。求 $X_a(2)$ 和 $X_b(2)$ 的值。估计 $X_b(2)$ 的值的误差，并给出一个能提供精确到 0.1% 的 $X(2)$ 值的步长。求 $X(2)$ 使用此步长。求该初值问题的精确解，并确定其中的实际误差大小 $X_a(2)$ , $X_b(2)$ 以及你的最终值 $X(2)$ 。

44 将初值问题

$$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{xt}, \quad x(1) = 1$$

使用步长 $h = 0.1$ 的欧拉法解记为 $X_a(t)$ ，而使用 $h = 0.05$ 的解记为 $X_b(t)$ 。求 $X_a(2)$ 和

Xb(2) 的值。估计 Xb(2) 的值的误差，并给出一个能使 X(2) 的值精确到 0.2% 的步长建议值。使用此步长求 X(2) 的值。求该初值问题的精确解，并确定 Xa(2)、Xb(2) 以及你的最终 X(2) 值的实际误差大小。

45 将初值问题

$$\frac{dx}{dt} = \frac{1}{\ln x}, \quad x(1) = 1.2$$

使用步长 $h = 0.05$ 由 $X_a(t)$ ，并且使用 $h = 0.025$ 由 $X_b(t)$ 。求 $X_a(1.5)$ 和 $X_b(1.5)$ 的值。估计 $X_b(1.5)$ 的值的误差，并建议一个步长，使得到的 $X(1.5)$ 的值精确到 0.25%。用该步长求出 $X(1.5)$ 的值。求初值问题的精确解，并确定 $X_a(1.5)$ , $X_b(1.5)$ 以及你的最终值中误差的实际大小 $X(1.5)$ .

10.7 工程应用：阻尼器性能分析

在本节中，我们将进行一个适度的工程设计练习，以说明如何使用一阶微分方程对工程问题进行建模，并利用本章迄今为止所学的技术求解该问题。

一家小型工程公司除生产其他产品外，还生产用于特殊用途的液压阻尼器。该公司用于检验其产品质量和运行特性一致性的一台试验台如图 10.14 所示。一辆载有质量块的小车（质量块可根据被测阻尼器进行调整）以精确控制的速度沿一条摩擦极低的轨道发射出去。在轨道末端，小车撞入一个与被测阻尼器相连的缓冲器。在撞击前的一瞬间，小车穿过一对光电管，其输出用于精确测量小车速度。该质量块

图 10.14 阻尼器试验装置。