例 10.38 求方程的通解

$$2 \frac{d^4 x}{dt^4} + 3 \frac{d^3 x}{dt^3} - 22 \frac{d^2 x}{dt^2} - 73 \frac{d x}{dt} - 60 x = 0$$

解 特征方程为

$$2m^4 + 3m^3 - 22m^2 - 73m - 60 = 0$$

即

$$(m - 4)(2m + 3)(m^2 + 4m + 5) = 0$$

因此根为 $m = 4, -3/2, -2 \pm j$ 。于是解为

$$x(t) = Ae^{4t} + Be^{-3t/2} + e^{-2t}(C\cos t + D\sin t)$$

例 10.39 求方程的通解

$$\frac{d^4x}{dt^4} + \frac{d^3x}{dt^3} - 3\frac{d^2x}{dt^2} - 5\frac{dx}{dt} - 2x = 0$$

解 特征方程为

$$m^4 + m^3 - 3m^2 - 5m - 2 = 0$$

即

$$(m - 2)(m^3 + 3m^2 + 3m + 1) = (m - 2)(m + 1)^3 = 0$$

因此根为 $m = 2$ 和 $m = -1$ 重复三次。因此解为

$$x(t) = Ae^{2t} + (Bt^2 + Ct + D)e^{-t}$$

例 10.37 在 MATLAB 中可用以下命令求解

syms x(t)

$$D3x = \text{diff}(x,t,3); \quad D2x = \text{diff}(x,t,2); \quad Dx = \text{diff}(x,t);$$

dsolve(D3x - 2*D2x - 5*Dx + 6*x)

习题 10.9.2 中所有题目的解都可以用这个软件包方便地验证。例如，第 59(f ) 题可用以下命令求解

dsolve(D3x + 6*D2x + 12*Dx + 8*x, x(1) == 1, Dx(1) == 1, D2x(1) == 0)