例 10.36 求初值问题的解

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 6\frac{dx}{dt} + 9x = 0, \quad x(0) = 1, \quad \frac{dx}{dt}(0) = 2$$

解 特征方程为

$$m^2 + 6m + 9 = (m + 3)^2 = 0$$

该方程有一个重根 $m = -3$ 。因此解为

$$x(t) = (At + B)e^{-3t}$$

现在代入初始条件得

$$B = 1, \quad -3B + A = 2$$

于是 $x(t) = (5t + 1)e^{-3t}$ 。

注意，在例 10.36 中，两个初始条件使我们能够确定二阶微分方程通解中两个任意常数的值。

到目前为止，我们已经展示了一种可以求解任意二阶线性常系数齐次方程的方法。该方法可以相当令人满意地推广到更高阶的常系数齐次方程。当把同样的试探解 $e^{mt}$ 代入一个 $p$ 阶方程时，

$$a_p \frac{d^p x}{dt^p} + a_{p-1} \frac{d^{p-1} x}{dt^{p-1}} + \dots + a_2 \frac{d^2 x}{dt^2} + a_1 \frac{d x}{dt} + a_0 x = 0$$

会得到一个次数为 $p$ 属于 $m$ ,

$$a_p m^p + a_{p-1} m^{p-1} + a_{p-2} m^{p-2} + \dots + a_1 m + a_0 = 0$$

根据多项式方程理论（见 3.1 节）可知，这样的方程有 $p$ 个根。这些根可能是实根或复根，复根以共轭对的形式出现。根也可能是单根或重根。这些不同情形的处理方式与二阶方程相同。与二阶方程求解相比，唯一的额外复杂性在于根的重数可能超过两次。当根 $m = k$ 的重数为 $n$ 时，利用上面所述的技巧可以证明相应的解为 $e^{kt}$ , $te^{kt}$ , $t^2e^{kt}$ , ..., $t^{n-1}e^{kt}$ 。

例 10.37 求方程的通解

$$\frac{d^3x}{dt^3} - 2\frac{d^2x}{dt^2} - 5\frac{dx}{dt} + 6x = 0$$

解 特征方程为

$$m^3 - 2m^2 - 5m + 6 = (m - 1)(m + 2)(m - 3) = 0$$

$$x(t) = Ae^t + Be^{-2t} + Ce^{3t}$$