10.9.3 线性非齐次常系数方程

在讨论了线性齐次常系数微分方程之后，线性非齐次常系数微分方程的大部分基础工作已经完成。此类 p 阶方程的一般形式为

$$L[x] = a_p \frac{d^p x}{dt^p} + a_{p-1} \frac{d^{p-1} x}{dt^{p-1}} + \dots + a_1 \frac{d x}{dt} + a_0 = f(t)$$

其中 L 是一个 p 阶线性微分算子。我们已经看到（第 10.8.2 节），该方程的通解具有特解与余函数之和的形式。余函数是方程

$$L[x] = 0$$

的通解。因此，余函数可以用上一节的方法求得，而为了完成对非齐次方程的讨论，我们只需讨论特解的求法。

没有任何一般的数学理论能够保证通过常规的运算就求出一个特解——相反，求特解依赖于对经验法则的回忆或智力的灵感。我们将首先给出一些例子。

例 10.40 求方程

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + 5\frac{dx}{dt} - 9x = t^2$$

的通解。

$$x(t) = Pt^2 + Qt + R$$

解 首先我们寻求一个特解。尝试多项式

$$2P + 5(2Pt + Q) - 9(Pt^2 + Qt + R) = t^2$$

然后直接代入得到

$$-9Pt^2 + (10P - 9Q)t + 2P + 5Q - 9R = t^2$$

即

$$-9P = 1$$

$$10P - 9Q = 0$$

$$2P + 5Q - 9R = 0$$

令该方程左右两边 t 的各次幂的系数相等，得到关于未知参数 P、Q 和 R 的三个线性方程组成的方程组：

这个方程组的解为

$$P = -\frac{1}{9}, \quad Q = -\frac{\frac{10}{81}}{1}, \quad R = -\frac{\frac{68}{729}}{1}$$

$$x(t) = -\frac{1}{9}t^2 - \frac{10}{81}t - \frac{68}{729}$$