10.9.1 节的方法给出了补函数，即

*^A*e⁻(5⁻Ë61)t/2 ^{+ B}e⁻(5⁺**Ë61)t/2

因此该方程的通解为

$$x(t) = -\frac{1}{9}t^2 - \frac{10}{81}t - \frac{68}{729} + Ae^{-(5-\sqrt{61})t/2} + Be^{-(5+\sqrt{61})t/2}$$

例 10.41 求方程的通解

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 5\frac{dx}{dt} - 9x = \cos 2t$$

解 与例 10.40 一样，我们先求一个特解。在本例中，右端函数为 $\cos 2t$ 。如果我们把 $x(t) = P \cos 2t$ 作为试探函数，就会发现左端会产生 $\cos 2t$ 项和 $\sin 2t$ 项。这表明试探函数应为

$$x(t) = P \cos 2t + Q \sin 2t$$

然后直接代入可得

$$\begin{aligned} &-4P\cos 2t - 4Q\sin 2t + 5(-2P\sin 2t + 2Q\cos 2t) - 9(P\cos 2t + Q\sin 2t) \ &= \cos 2t \end{aligned}$$

即

$$(-13P + 10Q)\cos 2t - (10P + 13Q)\sin 2t = \cos 2t$$

令方程左右两边 cos 2t 和 sin 2t 的系数相等，得到关于未知参数 P 和 Q 的两个线性方程：

$$-13P + 10Q = 1$$

$$10P + 13Q = 0$$

因此

$$P = -\frac{\frac{13}{26}}{\frac{2}{29}} \quad \text{and} \quad Q = \frac{\frac{10}{26}}{\frac{2}{29}}$$

且特积分为

$$x(t) = \frac{1}{269}(10 \sin 2t - 13 \cos 2t)$$

余函数与例 10.40 的相同，

$$Ae^{-(5-\sqrt{61})t/2} + Be^{-(5+\sqrt{61})t/2}$$

所以方程的通解为

$$Ae^{-(5-\sqrt{61})t/2} + Be^{-(5+\sqrt{61})t/2}$$ e 方程的通解为 $$x(t) = \frac{1}{269} (10 \sin 2t - 13 \cos 2t) + Ae^{-(5-\sqrt{61})t/2} + Be^{-(5+\sqrt{61})t/2}$$

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 5\frac{dx}{dt} - 9x = e^{4t}$$