解 代入适当的试探解 Pe*^t*，得到结果

$$Pe^t - 2Pe^t + 5Pe^t - 8Pe^t + 4Pe^t = e^t$$

对此，如例 10.44 一样，P 无解。齐次方程的特征方程为

$$m^4 - 2m^3 + 5m^2 - 8m + 4 = 0$$

即

$$(m - 1)^2(m(m^2 + 4) = 0$$

所以齐次方程的通解为

$$x(t) = (At + B)e^t + C\cos 2t + D\sin 2t$$

方程的右端， $e'$ ，是对应于二重根的函数 $m = 1$ ，因此该右端的标准试探函数 $Pe'$ ，必须乘以 $t^2$ 。代入这个试探函数，我们得到

$$P(t^2e^t + 8te^t + 12e^t) - 2P(t^2e^t + 6te^t + 6e^t)$$

$$+ 5P(t^2e^t + 4te^t + 2e^t) - 8P(t^2e^t + 2te^t) + 4Pt^2e^t = e^t$$

也就是说，

$$10Pe^t = e^t$$

因此微分方程的解为

$$x(t) = \frac{1}{10} t^2 e^t + (At + B)e^t + C \cos 2t + D \sin 2t$$

例 10.40–10.45 都是在未给出边界条件的情况下求出了问题的一般解。显然，可以确定常数的值，使一般解符合给定的边界条件或初始条件。每个边界条件允许确定一个常数的值。因此，一般而言，完全确定解所需的边界条件数量等于

微分方程的阶数。

例 10.45 可以通过以下方式求解：

dsolve(D4x - 2*D3x + 5*D2x - 8*Dx + 4*x == exp(t))

练习 10.9.4 中任何问题的解都可以使用该软件包方便地进行验证。