高于二阶的线性非齐次常系数微分方程的求解方法可直接由二阶方程的方法得出。求特积分与方程的阶数无关，方法相同。解由特积分加上余函数构成这一原则要求微分算子是线性的，但对任意阶的算子都成立。因此，完成高阶非齐次方程的求解只需要能够求解相应的齐次方程——而我们在第 10.9.1 节中已经学习了如何做到这一点。

还有一个我们尚未提及的复杂情况。例 10.44 对此进行了说明。

例 10.44 求方程的通解

$$\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{dx}{dt} - 2x = e^{-2t}$$

解 代入相应的试探解 $Pe^{-2t}$ 得到结果

$$4Pe^{-2t} - 2Pe^{-2t} - 2Pe^{-2t} = e^{-2t}$$

该方程对 P 无解。

例 10.44 中的问题在于方程右端是一个同时也是相应齐次方程解的函数。在这种情况下，我们必须将特积分的相应试探函数乘以 t。

因此，为求例 10.44 的特积分，相应的试探解为 $Pre^{-2t}$ 。将其代入方程，我们得到

$$(-2Pe^{-2t} + 4Pte^{-2t} - 2Pe^{-2t}) + (-2Pte^{-2t} + Pe^{-2t}) - 2Pte^{-2t} = e^{-2t}$$

整理各项，得到

$$-3Pe^{-2t} = e^{-2t} \quad \text{giving} \quad P = -\frac{1}{3}$$

而例 10.43 的通解为

$$x(t) = -\frac{1}{3}te^{-2t} + Ae^{-2t} + Be^t$$

如果右端函数对应于特征方程的重根所对应的函数，那么试探函数必须乘以 t n，其中 n 是特征方程根的重数。

例 10.45 求方程的通解

$$\frac{d^4x}{dt^4} - 2\frac{d^3x}{dt^3} + 5\frac{d^2x}{dt^2} - 8\frac{dx}{dt} + 4x = e^t$$