10.10 工程应用：二阶线性常系数微分方程

在本节中，我们将展示各种工程系统的简单数学模型如何引出二阶线性常系数微分方程。我们还将研究此类模型解的主要特征。

10.10.1 弹性系统的自由振荡

如果将一块木板或一根金属梁的一端牢固地固定在刚性基础上，而另一端伸出且无支撑，如图 10.20 所示，那么在自由端施加一个力，或者等效地在其上放置一个重物，都会使木板或梁在载荷作用下发生弯曲。力或载荷越大，挠度就越大。如果载荷适中，那么当载荷移除后，木板或梁会弹回其原来的位置。如果载荷足够大，木板最终会断裂。而金属梁则可能永久变形（即当载荷移除后不会恢复到原来的位置），也可能断裂，这取决于金属的类型。对木板或梁进行的此类实验表明，对于由多种材料制成的梁，通常存在一个载荷范围，在此范围内梁的挠度与所施加的载荷大致成正比（图 10.20(a)、）。然而，当载荷变得足够大时，通常存在一个区域，在该区域中挠度的增长要么比载荷慢，要么比载荷快（图 10.20(c)），最后存在一个载荷值，超过该值梁就会断裂或永久变形（图 10.20(d)）。

一端刚性固定、另一端设计用于支撑某种载荷的梁称为悬臂梁。悬臂梁在日常生活和工程中有许多常见应用。大多数读者熟悉的一个例子是跳水跳板。工程应用包括仓库起重机、飞机机翼以及某些类型的桥梁等。对于这些应用中的大多数，

图 10.20 悬臂梁在载荷作用下的挠度。