以振荡方式趋于静止，在最终停止之前多次经过平衡位置。因此，这种运动被称为欠阻尼运动。当 $\zeta > 1$ 时，方程所描述的运动以直接的方式衰减到平衡位置，但比临界阻尼系统衰减得更慢。在这种情况下，这种运动被称为过阻尼运动。

对于欠阻尼情况，工程上常用的一个经验法则是：当 $\zeta = 0.3$ 时，系统在稳定下来之前会出现三次可辨别的超调。这并不是说只有三次超调——恰恰相反，超调次数有无穷多个——而是到第四次及之后的超调时，振荡的幅值已衰减到初始幅值的 2% 以下。当 $\zeta = 0.5$ 时，有两次可辨别的超调（第三次及之后的超调幅值小于初始幅值的 $\frac{1}{2}$ %），而当 $\zeta = 0.7$ 时，只有一次明显的超调。

另一条经验法则与包含响应的包络线有关。响应被包含在一个由函数 $e^{-\zeta\omega t}$ 定义的包络线内。现在 $e^{-3} = 0.0498$ 且 $e^{-4.5} = 0.0111$ ，所以当 $\zeta\omega t = 3$ 时，响应的幅值将衰减到其初始幅值的约 5%，而当 $\zeta\omega t = 4.5$ 其振幅将衰减到大约为初始振幅的 1%。因此， $t = 1/\zeta\omega$ 被称为系统的衰减时间，工程师们使用的经验法则是：响应在三个衰减时间内降至 5%，在四个半衰减时间内降至 1%。

例 10.46 一个质量为 4 kg、长度为 2 m、空气阻力系数为 $5 \text{ N s m}^{-1}$ 的摆从初始位置释放，该位置上摆与竖直方向成 $20^\circ$ 角。假设该角度足够小，可以在运动方程中采用小角度近似，那么在摆明显停止之前，可以观察到多少次明显的振荡？摆的运动振幅需要多长时间才能衰减到小于 $1^\circ$ ？

解 摆的运动由 (10.48) 描述。将其与 (10.50) 比较，我们看到 $\omega = (g/l)^{1/2} = 2.215 \text{ rad s}^{-1}$ 和 $2\zeta\omega = k/m = 1.25$ ；也就是说， $\zeta = 0.282$ 。因此，由于 $\zeta \approx 0.3$ ，我们预计可以看到三次明显可辨的过冲（一个半完整的振荡周期）。摆的衰减时间为 $1/\zeta\omega = 2m/k = 1.6$ s，因此我们预计摆的振荡振幅将在 4.8 s 内衰减到初始振幅的 5%。

从前面的段落和例 10.46 可以明显看出，固有频率 $\omega$ 以及阻尼参数 $\zeta$ 是概括任何物理系统性质的非常便捷的方式，这些系统的振荡由阻尼二阶方程描述。

10.10.3 弹性系统的受迫振荡

在前两节中，我们考察了弹性系统进行振荡时的行为，其中系统可以自由选择自己的振荡频率。在许多情况下，弹性系统受到某个外部频率的驱动力作用，该频率由外力决定。