因此 (10.50) 的解为

$$x = A \exp{-[\zeta - (\zeta^2 - 1)^{1/2}]\omega t} + B \exp{-[\zeta + (\zeta^2 - 1)^{1/2}]\omega t} \quad (\zeta > 1) \quad (10.51a)$$

$$x = e^{-\omega t}(At + B) \quad (\zeta = 1) \quad (10.51b)$$

$$x = e^{-\zeta\omega t} {A \cos[(1 - \zeta^2)^{1/2}\omega t] + B \sin[(1 - \zeta^2)^{1/2}\omega t]} \quad (0 < \zeta < 1) \quad (\mathbf{10.51c})$$

关于这些解首先要注意的是，由于 $\zeta > 0$ 且 $\omega > 0$ ，我们有 $x \rightarrow 0$ 在所有情况下都为 $t \rightarrow \infty$ 。图 10.25 展示了解 (10.51) 在不同 $\zeta$ 值下的典型形式。 $\omega$ 的变化只会改变水平轴上的尺度。当 $0 < \zeta < 1$ 时，解呈振幅衰减的振荡形式。当 $\zeta > 1$ 时，解呈指数衰减的形式。越大 $\zeta$ , 最终衰减越慢，因为指数系数 $\zeta - (\zeta^2 - 1)^{1/2} \rightarrow 0$ 为 $\zeta \rightarrow \infty$ 。在图 10.25 中，振荡解的包络线用虚线表示。如果将振荡衰减的包络线与以下情况的解进行比较： $\zeta > 1$ 很快可以明显看出，衰减最快的情况是当 $\zeta = 1$ 。现在可以明显看出我们为什么选择将 (10.50) 作为描述二阶阻尼系统的标准形式。参数 $\omega$ 是系统的固有频率，即系统在无阻尼情况下的振荡频率，而参数 $\zeta$ 是系统的阻尼参数。当 $\zeta = 1$ 时，系统运动衰减到平衡状态的速度是可能的最快速度。因此， $\zeta = 1$ 被称为临界阻尼。当 $\zeta < 1$ 时，方程所描述的运动衰减到其平衡

图 10.25
阻尼二阶系统的运动。