图 10.26
作用在振动灯柱上的力。

灯柱振动的简单模型如图 10.26 所示。灯具装置的质量为 $m$ ，它从平衡位置被移动了一段距离 $x$ 。悬臂结构产生一个恢复力 $S$ ，空气阻力产生一个恢复力 $R$ 。风荷载（记住，它不是沿风向的力，而是一种振荡的侧向力）为 $W$ 。如果位移 $x$ 很小且位移速度不太大，那么我们可以合理地假设

$$S = kx \quad \text{and} \quad R = \lambda \frac{dx}{dt}$$

在 somewhat 不太符合实际的假设下，即灯柱本身的质量与灯具装置的质量相比很小，灯的运动方程为

$$m \frac{d^2 x}{dt^2} = -\lambda \frac{dx}{dt} - kx + W$$

风致力 $W$ 是振荡的，因此我们假设它具有如下形式

$$W = W_0 \cos \Omega t$$

因此运动方程变为

$$m \frac{d^2 x}{dt^2} + \lambda \frac{dx}{dt} + kx = W_0 \cos \Omega t \quad (10.52)$$

这是一个二阶线性非齐次常系数微分方程。为了便于解释结果，我们将 (10.52) 替换为等价方程

$$\frac{d^2 x}{dt^2} + 2\zeta\omega \frac{dx}{dt} + \omega^2 x = F \cos \Omega t \quad (10.53)$$

通过假设如下形式求得 (10.53) 的特解 $A \cos \Omega t + B \sin \Omega t$ ，并求得为

$$\frac{(\omega^2 - \Omega^2)F \cos \Omega t + 2\zeta\omega\Omega F \sin \Omega t}{(\omega^2 - \Omega^2)^2 + 4\zeta^2\omega^2\Omega^2} \quad (10.54a)$$

或等价地

$$\frac{F}{[(\omega^2 - \Omega^2)^2 + 4\zeta^2\omega^2\Omega^2]^{1/2}} \cos(\Omega t - \delta) \quad (10.54b)$$

其中

$$\delta = \tan^{-1} \left( \frac{2\zeta\omega\Omega}{\omega^2 - \Omega^2} \right)$$

补函数当然是 (10.52) 的齐次等价方程的解，即 (10.50)。因此补函数由 (10.51) 给出。阻尼二阶系统在力 $F \cos \Omega t$ 作用下的响应运动因此是 (10.51) 与 (10.54a) 或 (10.54b) 之和。在第 10.10.2 节中我们