10.11.2 高阶系统的状态空间表示

阶数大于 1 的微分方程初值问题的求解可以化归为一组一阶微分方程的求解。这可以通过一个简单的变换来实现，如例 10.48 所示。

例 10.48 初值问题

$$\frac{d^2x}{dt^2} + x^2 \frac{dx}{dt} - xt^2 = \frac{1}{2}t^2, \quad x(0) = 1.2, \quad \frac{dx}{dt}(0) = 0.8$$

可以通过引入一个附加变量将其变换为两个耦合的一阶微分方程

$$y = \frac{dx}{dt}$$

根据这个定义，我们有

$$\frac{d^2 x}{dt^2} = \frac{dy}{dt}$$

于是微分方程变为

$$\frac{dy}{dt} + x^2ty - xt^2 = \frac{1}{2}t^2$$

因此，原来的微分方程可以用一对耦合的一阶微分方程连同初始条件来代替：

$$\frac{dx}{dt} = y, \quad x(0) = 1.2$$

$$\frac{dy}{dt} = -x^2ty + xt^2 + \frac{1}{2}t^2, \quad y(0) = 0.8$$

这一过程可以推广，将 p 阶初值问题变换为一组 p 个一阶方程，每个方程都有一个初始条件。一旦原方程以这种方式完成变换，用数值方法求解它就与直接求解一组耦合方程完全相同。

例 10.49 求满足初值问题的 X(0.2) 的值

$$\frac{d^3x}{dt^3} + xt \frac{d^2x}{dt^2} + t \frac{dx}{dt} - t^{t^2}x = 0, \quad x(0) = 1, \quad \frac{dx}{dt}(0) = 0.5, \quad \frac{d^2x}{dt^2}(0) = -0.2$$