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例 10.47 求满足下列初值问题的 X(1.4) 的值：
$$\frac{dx}{dt} = x - y^2 + xt, \quad x(1) = 0.5$$
$$\frac{dy}{dt} = 2x^2 + xy - t, \quad y(1) = 1.2$$
使用欧拉法，时间步长为 $h = 0.1$ 。
解 两个方程的右端项分别记为 f1(t, x, y) 和 f2(t, x, y)，于是
$$f_1(t, x, y) = x - y^2 + xt \quad \text{and} \quad f_2(t, x, y) = 2x^2 + xy - t$$
初始条件施加在 $t = 1$ 处，因此 $t_n$ 将表示 $1 + nh$ , $X_n$ 将表示 $X(1 + nh)$ ，而 $Y_n$ 将表示 $Y(1 + nh)$ 。于是我们有
| $X_1 = x_0 + hf_1(t_0, x_0, y_0)$ | $Y_1 = y_0 + hf_2(t_0, x_0, y_0)$ |
|---|---|
| $= 0.5 + 0.1f_1(1, 0.5, 1.2)$ | $= 1.2 + 0.1f_2(1, 0.5, 1.2)$ |
| $= 0.4560$ | $= 1.2100$ |
作为第一步。因此下一步是
| $X_2 = X_1 + hf_1(t_1, X_1, Y_1)$ | $Y_2 = Y_1 + hf_2(t_1, X_1, Y_1)$ |
|---|---|
| $= 0.4560$ | $= 1.2100$ |
| $+ 0.1f_1(1.1, 0.4560, 1.2100)$ | $+ 0.1f_2(1.1, 0.4560, 1.2100)$ |
| $= 0.4054$ | $= 1.1968$ |
第三步是
| $X_3 = 0.4054$ | $Y_3 = 1.1968$ |
|---|---|
| $+ 0.1f_1(1.2, 0.4054, 1.1968)$ | $+ 0.1f_2(1.2, 0.4054, 1.1968)$ |
| $= 0.3513$ | $= 1.1581$ |
最后，我们得到
$$\begin{aligned} X_4 &= 0.3513 + 0.1f_1(1.3, 0.3513, 1.1581) \ &= 0.2980 \end{aligned}$$
因此我们有 $X(1.4) = 0.2980$ 。
从例 10.47 中显然可以看出，将欧拉方法推广到微分方程组的主要缺点是额外的计算量和繁琐性。就本质而言，计算并不更困难，只是更加费力——这是一个非常适合计算机化的问题的典型例子。