其中 $k$ 是该元素的衰变率， $m$ 是所存在的元素质量。元素的半衰期是指任意给定质量的元素衰变一半所需的时间。求衰变常数 $k$ 与元素半衰期之间的关系。

15 在第 10.2.4 节中，我们证明了控制串联 LRC 电路中电流的方程为（方程 (10.9)）

$$L \frac{d^2 i}{dt^2} + R \frac{di}{dt} + \frac{1}{C} i = 0$$

用类似的方法证明，控制含有电压源 $E$ 的串联 LR 电路中电流的方程为

$$L \frac{di}{dt} + Ri = E$$

在时刻 $t = 0$ 开关闭合，将 $V$ 的直流电势加到由电感 $L$ 和电阻组成的初始静止的串联 LR 电路上 $R$ . 证明电路中流动的电流为

$$i(t) = \frac{V}{R} (1 - e^{-Rt/L})$$

进而求出电流达到其最终值的 95% 所需的时间。

16 汽车轮胎的胎面随着变薄而磨损得更快。胎面磨损率（以每 10 000 英里磨损的毫米数计）可以建模为

$$a + b(d - t)^2$$

其中 $d$ 是初始胎面深度， $t$ 是当前胎面深度， $a$ 和 $b$ 是常数。一家轮胎公司对一种初始胎面深度为 8 mm 的新设计轮胎进行了测量。轮胎是全新时，其磨损率为每行驶 10 000 英里磨损 1.03 mm；当胎面深度减少到 4 mm 时，磨损率为每 10 000 英里 3.43 mm。假设当胎面深度减少到 2 mm 时轮胎被废弃，它的估计寿命是多少？

17 将下列每个微分方程表示为如下形式

$$L[x(t)] = f(t)$$

$$(a) \frac{d^2 x}{dt^2} + (\sin t) \frac{dx}{dt} - 9x + \cos t = 0$$

$$(b) \frac{d^3 x}{dt^3} + t \frac{d^2 x}{dt^2} + t^2 \frac{dx}{dt} - 4t \frac{dx}{dt} + e^t + x = 0$$

$$(c) \frac{dx}{dt} = e^t + e^{-t}x$$

$$(d) \frac{d^2 x}{dt^2} = \cos \Omega t - 4x$$

$$(e) t^2 \frac{d^3 x}{dt^3} + \ln(t^2 + 4) = \frac{1}{t^2 + 2t + 4} \frac{dx}{dt}$$

18 对下列每一对算子，计算算子 LM – ML；从而指出哪些算子对是可交换的（即满足 $LMx(t) = MLx(t)$ ):

$$(a) L = \frac{d}{dt} + \sin t, \quad M = \frac{d}{dt} - \cos t$$

$$(b) L = \frac{d}{dt} + 4, \quad M = \frac{d}{dt} + 9$$

$$(c) L = \frac{d}{dt} + \sin t + 2, \quad M = \frac{d}{dt} + \sin t - 2$$

$$(d) L = \frac{d^2}{dt^2} + 2t^2 - 9, \quad M = \frac{d^2}{dt^2} + 2t^2 + t$$

19 函数 $f(t)$ 和 $g(t)$ 以下算符对满足交换律需要什么条件？

$$(a) L = \frac{d}{dt} + f(t), \quad M = \frac{d}{dt} + g(t)$$

$$(b) L = \frac{d^2}{dt^2} + f(t), \quad M = \frac{d^2}{dt^2} + g(t)$$

20 求下列微分方程的通解：

$$(a) \frac{d^2 x}{dt^2} - 3 \frac{dx}{dt} + 2x = \sin t$$

$$(b) \frac{d^3 x}{dt^3} - 7 \frac{dx}{dt} + 6x = t$$

$$(c) \frac{d^3 x}{dt^3} - 7 \frac{dx}{dt} + 6x = e^{2t}$$

$$(d) \frac{dx}{dt} - 4x = e^{4t}$$

$$(e) \frac{d^2 x}{dt^2} + 3 \frac{dx}{dt} + \frac{13}{4}x = t^2$$