求 $X(0.4)$ 的值，使用步长为 0.1 和 0.05 的欧拉方法。通过比较这两个对 $x(0.4)$ 的估计值，估计你所得的两个值中较优者的精度，以及要得到精确到小数点后 2 位的 $x(0.4)$ 估计值所需的步长。

8 解微分方程

$$\frac{dx}{dt} = \sin t^2, \quad x(0) = 2$$

求 $X(0.25)$ 的值，使用步长为 0.05 和 0.025 的欧拉方法。通过比较这两个对 $x(0.25)$ 的估计值，估计你所得的两个值中较优者的精度，以及要得到精确到小数点后 3 位的 $x(0.25)$ 估计值所需的步长。

9 解微分方程

$$\frac{dx}{dt} + \frac{3x}{20 - t} = 2$$

（例 8.4 中所得）来确定时刻 $x(t)$ 时槽中盐的量 $t$ 分钟。初始时水箱中装有纯水。

10 一个开口容器呈半顶角为 $45^\circ$ 的直圆锥形，其轴竖直且顶点朝下。在时刻 $t = 0$ 时，容器是空的。水以恒定速率注入， $p \text{ m}^3 \text{ s}^{-1}$ 并从顶点处的一个小孔以速率流出， $k \text{ ym}^3 \text{ s}^{-1}$ 其中 $k$ 为正常数， $y$ 为圆锥中水的深度。

已知圆锥的体积为 $\pi^2 h^2/3$ ，其中 $r$ 为底面半径， $h$ 为其竖直高度，证明：

$$\pi y^2 \frac{dy}{dt} = p - ky$$

推导水位在某一时刻达到该值 $y = p(2k)$ 在时刻

$$t = \frac{\pi p^2}{k^3} \left( \ln 2 - \frac{5}{8} \right)$$

11 斯特藩定律指出，由于热辐射，物体温度的变化率为

$$\frac{dT}{dt} = -k(T^4 - T_0^4)$$

其中 $T$ 是物体的温度， $T_0$ 是周围介质的温度（均以开尔文为单位），且 $k$ 是一个常数。证明该微分方程的解为

$$2 \tan\left(\frac{T}{T_0}\right) + \ln\left(\frac{T + T_0}{T - T_0}\right) = 4T_0^3(kt + C)$$

证明当物体与其周围环境的温差较小时，斯特藩定律可以用牛顿冷却定律近似

$$\frac{dT}{dt} = -\alpha(T - T_0)$$

并用以下变量表示 $\alpha$ 求出 $k$ 和 $T_0$ 。

12 一台电动机在负载下以恒定速率在内部产生热量 $H$ 并按照牛顿冷却定律以速率散热 $k\theta$ ，其中 $k$ 是一个常数， $\theta$ 是电动机相对于其周围环境的温度差。通过对时间进行适当的无量纲化，电动机的温度由如下微分方程给出

$$\frac{d\theta}{dt} = H - k\theta$$

已知 $\theta = 0$ 和 $d\theta/dt = 10$ 当 $t = 0$ 和 $\theta = 60$ 当 $t = 10$ 证明

• (a) 温度的最终升幅为 $\theta = 10/k$ ;
• (b) $k$ 是该方程的一个解 $e^{-10k} = 1 - 6k$ ;
• $$(c) \ t = 10 + \frac{1}{k} \ln \left( \frac{10 - 60k}{10 - k\theta} \right)$$

13 要制造一个线性凸轮，其在轮廓上点 $x$ 处的上升速率（当它沿负 $(x, y)$ 方向移动时）等于连接 $(x, y)$ 与凸轮上定点 $(x_0, y_0)$ 的直线的斜率的一半。证明凸轮轮廓是微分方程

$$\frac{dy}{dx} = \frac{y - y_0}{2(x - x_0)}$$

的一个解，并由此求出它的方程。画出凸轮轮廓的草图。

14 放射性元素按单位质量的恒定速率衰变。证明这类衰变服从如下形式的方程

$$\frac{dm}{dt} = -km$$