25 用第 24 题中介绍的方法，求下列初值问题的解：

(a) $\frac{d^2x}{dt^2} + k \frac{dx}{dt} = t^2$ , $x(0) = 0$ , $\frac{dx}{dt}(0) = 1$

(b) $\frac{d^2x}{dt^2} = \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 e^{-kt}$ , $x(0) = 0$ , $\frac{dx}{dt}(0) = U$

(c) $(t^2 + 4) \frac{d^2x}{dt^2} = 2t \frac{dx}{dt}$ , $x(1) = 0$ , $\frac{dx}{dt}(1) = 2$

(d) $\frac{d^2x}{dt^2} + 4 \frac{dx}{dt} = \sin t$ , $x(\pi) = 0$ , $\frac{dx}{dt}(\pi) = 1$

26 证明：通过作代换

$$v = \frac{dx}{dt}$$

并注意到

$$\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \frac{dx}{dt} = v \frac{dv}{dx}$$

方程

$$\frac{d^2x}{dt^2} = x \frac{dx}{dt}$$

可以表示为

$$v \frac{dv}{dx} = xv$$

证明该方程的解为 $v = \frac{1}{2}x^2 + C$ 从而求出 $x(t)$ 。

这一技术是求解自变量不显式出现的二阶微分方程的标准方法。用同样的方法求下列微分方程的解

(a) $\frac{d^2x}{dt^2} = p \frac{dx}{dt}$

(b) $\frac{d^2x}{dt^2} = \left(\frac{dx}{dt}\right)^2$

(c) $\frac{d^2x}{dt^2} = \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 \left(2x - \frac{1}{x}\right)$

27 用第 26 题中介绍的方法，求下列初值问题的解：

(a) $x \frac{d^2x}{dt^2} = p \left(\frac{dx}{dt}\right)^2$ , $x(0) = 4$ , $\frac{dx}{dt}(0) = 1$

(b) $\frac{d^2x}{dt^2} = \frac{dx}{dt} e^x$ , $x(1) = 1$ , $\frac{dx}{dt}(1) = 0$

(c) $\frac{d^2x}{dt^2} = x^2 \frac{dx}{dt}$ , $x(0) = 2$ , $\frac{dx}{dt}(0) = \frac{8}{3}$

(d) $\frac{d^2x}{dt^2} + \frac{1}{2} \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 = x$ , $x(0) = 1$ , $\frac{dx}{dt}(0) = 0$

28 由 10.2.1 节中建立的飞机起飞滑跑模型得到的方程 (10.3)，可以用第 24 题和第 26 题中介绍的技术求解。假设推力为常数，求飞机速度关于时间和沿地面滑跑距离的函数。飞机的起飞速度记为 $V_2$ . 求所需跑道长度以及飞机达到起飞速度所需时间的表达式（用起飞速度表示）。

29 求出 $X(t)$ 对于 $t$ 直到 2 的值，其中 $X(t)$ 是微分方程问题的解

$$\frac{d^3x}{dt^3} + \left(\frac{d^2x}{dt^2}\right)^2 + 4 \left(\frac{dx}{dt}\right)^2 - xt = \sin t,$$

$$x(1) = 0.2, \quad \frac{dx}{dt}(1) = 1, \quad \frac{d^2x}{dt^2}(1) = 0$$

使用步长为 $h = 0.025$ 的欧拉方法。再用 $h = 0.0125$ 重复计算。据此估计你所求得的 $X(2)$ 值的精度。

30 一条链条盘绕在水平面边缘附近，其末端从边缘滑落。若链条与水平面之间的摩擦可忽略且链条不可伸长，则当长度为 $x$ 的链条已落下时，运动方程为

$$\frac{d}{dt}(mxv) = mgx$$

其中 $m$ 是链条单位长度的质量， $g$ 是重力加速度， $v$ 是链条下落部分的速度。如果链条单位长度的质量为常数，证明该方程可以表示为

$$xv \frac{dv}{dx} + v^2 = gx$$

并且，通过代入 $y = v^2$ ，证明 $v = \sqrt{2gx/3}$ .