31 一个简单的质量–弹簧系统，在轻微阻尼作用下，于周期性力 Fcos pt 的作用下振动。运动方程为

$$\frac{d^2x}{dt^2} + 2\frac{dx}{dt} + 4x = F \cos pt$$

其中 F 和 p 为常数。

求解位移的微分方程 $x(t)$ 。证明解的一部分当 $t \rightarrow \infty$ 时趋于零，并证明稳态解的振幅为

$$F[(4 - p^2)^2 + 4p^2]^{-1/2}$$ 因此证明当 $p = \sqrt{2}$ 时发生共振。

一个交变 $$F[(4 - p^2)^2 + 4p^2]^{-1/2}$$

32 将 E sinwot 伏特的交变电动势施加于一个电路，该电路包含一个 L 亨利的电感器、一个 R 欧姆的电阻器和一个 C 法拉的电容器，三者串联。电流 i 安培与电容器上的电荷 q 库仑所满足的微分方程为

$$L \frac{di}{dt} + Ri + \frac{q}{C} = E \sin \omega t$$

利用 $i = dq/dt$ 求出 $i$ 所满足的二阶微分方程。求出恰好足以阻止固有振荡的电阻值。对于此值的 $R$ 和 $\omega = (LC)^{-1/2}$ 证明

$$i = \frac{E}{2K}(\sin \omega t - \omega t e^{-\omega t})$$

其中 $K^2 = L/C$ ，当时刻电流和电容器上的电荷均为零时 $t = 0$ 。

以下三个问题旨在开放性探讨——没有唯一“正确”答案。应以探究的心态来处理这些问题，目标是运用数学知识和技术，发现关于物理世界如何运作的更多内容。这些问题设计为主要使用本章介绍的数学知识。

• 33 一辆质量为 $m$ 的卡车沿水平试验轨道行驶，仅受到与速度成正比的阻力。在时刻 $t = 0$ 卡车以速度经过一个参考点

对阻力分别与以下量成正比的类似卡车重复上述计算：

• (a) 速度的平方根；
• (b) 速度的平方；
• (c) 速度的立方。

在每种情况下，卡车需要多长时间才能停下来？请画出每种情况下速度随位移变化的图像。并用定性术语解释卡车在每种阻力类型下的行为。

你将如何用数学方法对一辆受到小的恒定阻力加上一个与速度成正比的阻力的卡车建模？这样的卡车在停下来之前会行驶多远，需要多长时间？对于受到小的恒定阻力加上与速度平方或速度立方成正比的阻力的卡车，你能重复这些计算吗？

关于在工程系统的数学模型中用哪类项来描述运动阻力是合理的，你能得出哪些一般性结论？

34 图 10.37 展示了一个可作为“刀具颤振”现象简化模型的系统。质量 A 放置在移动的传送带上，并通过一根弹簧与刚性支撑相连。传送带与质量之间的滑动摩擦系数小于静摩擦系数。当弹簧未受压缩时，质量随传送带一起向右移动。在此过程中，弹簧被压缩，直到弹簧施加的力超过可用的最大静摩擦力。此时质量开始滑动。弹簧力使质量减速，

图 10.37 “刀具颤振”现象模型的示意图。