11.1 引言

拉普拉斯变换方法在现代工程系统的分析与设计方法中扮演着关键角色。推动这些方法发展的契机是英国电气工程师奥利弗·亥维赛（Oliver Heaviside，1850–1925）的开创性工作，他发展了一种系统求解常系数常微分方程的方法。亥维赛关注的是解决实际问题，他的方法主要基于直觉，缺乏数学上的严谨性，因此当时不被理论家们所认可。然而，亥维赛本人并不关心严格的证明，他对自己的方法能给出正确结果感到满意。运用他的思想，他能够解决许多用经典方法无法处理的重要实际问题。这带来了诸如电流和电压沿传输线传播等领域中的许多新成果。

由于在实践中行之有效，亥维赛的方法被工程师们广泛接受。随着其解决问题的威力日益显现，该方法引起了数学家们的注意，他们着手为其提供理论依据。这推动了许多数学分支的快速发展，包括广义积分、渐近级数和变换理论。关于这一问题的研究持续了许多年，最终人们才认识到，法国数学家皮埃尔·西蒙·德·拉普拉斯（Pierre Simon de Laplace，1749–1827）在近一个世纪之前发展的一种积分变换为亥维赛的工作提供了理论基础。人们还认识到，使用这种积分变换为研究微分方程提供了一种比亥维赛所提方法更系统的替代方案。正是这种替代方法构成了拉普拉斯变换方法的基础。

我们已经遇到过利用数学变换来简化问题求解的例子。例如，对数被用来简化乘法和除法问题。要将两个数相乘或相除，我们先将它们变换为它们的对数，进行加法或减法运算，然后再执行逆变换（即取反对数）以获得原数的乘积或商。使用变换的目的是创建一个新的域，使所研究的问题在其中更容易处理。一旦在新域中得到了结果，就可以通过逆变换将其转换回原域，从而得到所需的结果。

拉普拉斯变换是积分变换类中的一个例子，它将一个变量 t（我们称之为时间）的函数 f(t) 变换为另一个变量 s（复频率）的函数 F(s)。工程师们广泛使用的另一种积分变换是傅里叶变换，它在配套教材《高级现代工程数学》（Advanced Modern Engineering Mathematics）中有所论述。拉普拉斯变换的吸引力在于，它将 t（时间）域中的微分方程变换为 s（频率）域中的代数方程。因此，在 t 域中求解微分方程就简化为在 s 域中求解代数方程。在 s 域中对所需求的未知量完成求解之后，可以通过取逆变换得到它们作为时间函数的值。使用拉普拉斯变换求解微分方程的另一个优点是，初始条件在变换过程中起着本质作用，因此它们被自动地纳入解中。这与之前讨论的经典方法（见第10章）形成对比，在经典方法中，初始条件只有在确定积分常数时才被引入。拉普拉斯