因此，变换是求解初值问题的理想工具，例如电路研究和机械振动中出现的那些问题。

拉普拉斯变换在信号与线性系统分析领域有着特别广泛的应用。系统的一个显著特征是：当它受到激励（输入）作用时，会产生响应（输出）。当输入 $u(t)$ 和输出 $x(t)$ 是表示时间的单一变量 $t$ 的函数时，通常将它们称为信号。系统的示意图如图 11.1 所示。工程师面临的问题是：确定系统在某一时刻受到输入 $x(t)$ 作用时的输出 $u(t)$ ，该时刻可取为 $t = 0$ 。输出与输入之间的关系由系统行为的规律决定。如果系统是线性且时不变的，则输出与输入之间通过一个常系数线性微分方程相关联，于是我们得到一个标准的初值问题，可以用拉普拉斯变换求解。

虽然本章考虑的许多问题可以用经典方法（第 10 章）求解，但拉普拉斯变换能带来更统一的方法，并使工程师对系统行为有更深入的理解。在实际中，输入信号 u(t) 可能是不连续函数或周期函数，甚至是脉冲，在这些情况下，使用拉普拉斯变换比经典方法具有明显的优势。此外，工程师往往不仅对系统分析感兴趣，还对系统综合或设计感兴趣。因此，工程师研究系统对特定输入的响应的目的，往往是为了更多地了解系统，以便改进或控制它，使其满足某些规格要求。正是在这一领域，拉普拉斯变换的使用颇具吸引力，因为通过考察系统对特定输入（如正弦信号）的响应，它为工程师提供了强大的图形化系统设计方法，这些方法相对易于应用，并在实践中得到广泛使用。

在用微分方程对系统建模时，我们假设输入和输出信号都可以在任意时刻变化；也就是说，它们是连续时间变量的函数（注意，这并不意味着信号本身必须是时间的连续函数）。这样的系统称为连续时间系统，拉普拉斯变换最适合用于研究这类系统。随着计算机控制被引入系统设计，与系统相关的信号可能只在离散时刻变化。在这种情况下，该系统被称为离散时间系统，并用差分方程而非微分方程来建模。这类系统使用 z 变换来处理，相关内容见配套教材《Advanced Modern Engineering Mathematics》。

在本章中，我们仅限于简要介绍拉普拉斯变换，并说明其在求解微分方程中的应用。它在工程应用中更广泛的作用将在配套教材中讨论。

本章与上一章的内容有一些重叠，特别是在电路和机械振动应用建模方面。之所以包含这些重叠内容，是为了使这两种求解微分方程的方法能够相互独立地学习。

图 11.1 系统的示意图。